Convergencia de los mapas de Riemann

Question

Para $\epsilon > 0$ , dejemos que $K_\epsilon = \{e^{i\theta} : \theta \in [0,\pi-\epsilon]\}$ sea un casi-semicírculo. Sea $D_\epsilon = H \setminus K_\epsilon$ donde $H$ es el plano medio superior. Sea $\phi_\epsilon : D_\epsilon \rightarrow H$ sea el mapa de Riemann normalizado de forma que $\lim_{z\rightarrow\infty} \phi_\epsilon(z) -z = 0$ . Sea $\psi_\epsilon = \phi_\epsilon/\phi_\epsilon'(0)$ en la intersección de $A$ del disco unitario con el semiplano superior. Intento demostrar que $\psi_\epsilon$ converge uniformemente en subconjuntos compactos de $A$ a un mapa conforme de $A$ a $H$ comme $\epsilon \rightarrow 0$ .

Intuitivamente, como $\epsilon \rightarrow 0$ , $D_\epsilon$ se aproxima a un dominio con dos componentes conectadas, y un mapa apropiadamente normalizado debería aproximarse a un biholomorfismo en cada una de ellas. Pero, no tengo mucha idea de cómo convertir esta intuición en una prueba. ¿Alguien tiene alguna sugerencia? Mejor aún, ¿hay algún resultado general sobre los límites de los mapas de Riemann en dominios "casi desconectados" que pueda aplicarse aquí?

Answer 1

Una herramienta estándar es el Teorema del núcleo de Carathéodory . Opera con una noción de límite de dominios con un punto interior distinguido; el mismo punto que también se utiliza para normalizar el mapa de Riemann.

Por lo tanto, si se normaliza $\phi_\epsilon$ para que $\phi_\epsilon(i/2)=i$ convergerán a un mapa conforme de $H\cap \{z:|z|<1\}$ en $H$ . Y si los normalizas para que $\phi_\epsilon(2i)=i$ convergerán a un mapa conforme de $H\cap \{z:|z|>1\}$ en $H$ .

La normalización por un valor límite de una derivada no es tan fiable: da menos control sobre el mapa. Si tienes alguna razón para usar esta normalización en particular, coméntalo e intentaré que se me ocurra algo.

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Detalles adicionales:

1. En Wikipedia, se enuncia el teorema del núcleo de Carathéodory para mapas del disco unitario $D$ a una secuencia de dominios. Se aplica igualmente a los mapas del semiplano $H$ a una secuencia de dominios, porque pueden componerse con un mapa fijo $D\to H$ .

2. Por lo tanto, el teorema se aplica a los inversos de $\phi_\epsilon$ normalizado, por ejemplo, por $\phi_\epsilon(i)=z_0$ . El núcleo de la secuencia $\phi_\epsilon^{-1}(H)$ depende de la elección de esta normalización: si $|z_0|<1$ es el semidisco superior, si $|z_0|>1$ es el semiplano superior menos el semidisco.

3. Se puede deducir la convergencia de $\phi_\epsilon$ a partir de la convergencia de $\phi_\epsilon^{-1}$ . Se me ocurren el teorema de Rouche y los teoremas de Hurwitz como posibles herramientas. Pero puede resultar más práctico leer un análisis más detallado de la convergencia del núcleo, ya sea en Teoría geométrica de las funciones de una variable compleja por Goluzin o en Funciones univalentes por Duren.