Normalmente la función zeta de Riemann $\zeta(s)$ se multiplica por un "factor gamma" para obtener una función $\xi(s)$ que satisface una ecuación funcional $\xi(s)=\xi(1-s)$ . Si cambiara este factor gamma por un número complejo constante distinto de cero, la ecuación funcional seguiría siendo válida.
De forma más general, para las funciones zeta de campos numéricos, se obtiene un factor gamma para cada lugar real y un factor gamma para cada lugar complejo. En un universo paralelo, podríamos haber definido el factor gamma para cada lugar real como (digamos) $\pi^{1/2}$ veces lo que solemos utilizar, y que el factor gamma en los lugares complejos sea (digamos) $1/2$ de lo que solemos usar (y creo que me enseñaron a usar $2.(2\pi)^s$ por lo que podríamos eliminar los 2 primeros) y todas las ecuaciones funcionales seguirían siendo exactamente iguales (porque los factores adicionales serían los mismos en ambos lados).
De forma más general, para Dirichlet $L$ -y funciones de Hecke $L$ -funciones: Ahora necesito un factor gamma para la función signo en los reales distintos de cero, y de nuevo podríamos usar una elección diferente.
Ahora, un poco de yoga general de los factores gamma nos dice que en realidad sólo hay 3 opciones a elegir (porque las estructuras de Hodge básicamente siempre se descomponen en los tipos cubiertos anteriormente)---y ya las he mencionado todas.
Conclusión: ¿hicimos, en algún momento, 3 elecciones arbitrarias de constantes, y toda la teoría de la $L$ -a las funciones de los motivos no les importarían las elecciones que hiciéramos, por lo que podríamos haber hecho otras elecciones? Obsérvese, por ejemplo, que las conjeturas sobre valores especiales de $L$ -no tienen en cuenta los factores gamma (bueno, las que yo conozco no lo hacen; predicen valores de la incopleta $L$ -sin los factores gamma). Nótese también que al definir estas cosas para caracteres de Hecke a la Tate, de nuevo se hacen elecciones bastante arbitrarias en los infinitos lugares---no hay una función canónica que sea su propia transformada de Fourier, porque podemos cambiar las cosas por constantes de nuevo.
¿Estoy totalmente equivocado o realmente hemos tomado 3 decisiones arbitrarias y podríamos haber tomado otras?
