¿Cómo puede $\pi_1(SO(3))$ ¿se relacionan exactamente con el truco de los camareros?

Question

Espero que esto sea lo suficientemente serio. Es un hecho bien conocido que $\pi_1(SO(3)) = \mathbb{Z}/(2)$ Así que $SO(3)$ admite precisamente un recubrimiento no trivial, que es de 2 hojas.

Otro hecho bien conocido es que se puede sostener un plato en la mano y realizar dos giros (uno por encima del codo, otro por debajo) en la misma dirección y volver a la posición original.

Se sabe que estos hechos están relacionados, y más o menos puedo adivinar por qué. Alguna configuración del sistema (mano + plato) debe dibujar un camino en $Spin(3)$ cuya proyección en $SO(3)$ es el bucle cerrado no trivial que apunta a la identidad.

El problema es que no puedo precisarlo, ya que no tengo claro cuál es la variedad que parametriza la posición del codo y de la mano. ¿Hay alguna forma limpia de ver cómo $Spin(3)$ ¿entra en juego?

Answer 1

Spin(3) sólo entra en juego como espacio de cobertura de SO(3), creo. Todo se hace en SO(3). Dibuja una curva a través de tu cuerpo desde un punto estacionario, como tu pie, subiendo por la pierna y el torso y saliendo por el brazo, terminando en el plato. Cada punto a lo largo de la curva traza una curva en SO(3), definiendo así una homotopía. Después de haber completado el truco y terminado de nuevo en la posición original, ahora tienes una homotopía de la doble rotación del plato con una curva constante en la identidad de SO(3). No puedes detenerte en el punto medio, bloquear el plato y la mano en su lugar, ahora en la posición original, y desenroscar el brazo: Esto refleja el hecho de que el bucle simple en SO(3) no es homotópico nulo.

Answer 2

Véanse las páginas 164-167 de la obra de Bredon Topología y geometría . La página 166 (que no puede consultarse en línea) es una secuencia de nueve imágenes que muestran el truco del camarero.

Answer 3

(Esto es un poco largo para un comentario, pero no pretende ser una respuesta).

He roto vasos en el pasado demostrando este truco por lo que recomiendo encarecidamente hacerlo con vacío tazas de plástico hasta que lo tengas dominado. Para los que no sepan cómo hacerlo, he aquí una forma más sencilla: coge una goma elástica y dos varillas que se distingan "arriba" y "abajo". Enrolla la banda alrededor de las dos varillas y mantenla bastante tensa (para que no se caiga). Imagen ascii:

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 /-|-----|-\   
/  |     |  \   
\  |     |  /   
 \---------/   
   |     |   

Ahora dale la vuelta a una de las varillas. Moviendo la varilla por el espacio pero sin girarlo (o que el sistema se caiga a pedazos), intenta desenredar la banda elástica.

¿No puede hacerlo? Sí. ¿Puedes? ¡Uy! O has hecho algo mal o Whitehead lo hizo.

Vuelve a empezar desde el principio. Ahora gire una de las varillas completamente (de modo que vuelva a estar del derecho). Ahora trata de desenredar la banda elástica como antes.

¿No puede hacerlo? Vuelve a intentarlo. Es posible.

Así que, en términos matemáticos, lo que buscas es la posición de la segunda barra más su "arriba-abajo". En cuanto al brazo del camarero, lo que buscas es la posición de la mano y la expresión de agonía de su cara: si su cara está agonizando, su brazo está torcido; si su cara está tranquila, su brazo no está torcido.

Mnemotécnica: retorcerle el brazo a alguien dos veces no te lleva a ninguna parte.