la "conjetura de milnor" topológica en nudos toroidales.

Question

He aquí una pregunta que ha surgido en un par de charlas que he dado recientemente.

La forma "clásica" de demostrar que existe un nudo $K$ que es localmente plano en la bola 4 pero no suavemente en la bola 4 es hacer dos cosas

1. Calcula que el polinomio de Alexander de $K$ es 1, y así por resultados de Freedman se sabe que $K$ es un corte localmente plano.

2. (debido a Rudolph) De alguna manera se obtiene un diagrama especial de $K$ (o utilizar un argumento más sutil) para demostrar que puede presentar $K$ como curva de separación en una superficie Seifert mínima para un nudo toroidal. Como sabemos (por varias pruebas, la primera debida a Kronheimer-Mrowka) que el género de un nudo toro es igual a su género de 4 bolas lisas (parte de la conjetura de Milnor), el género de 4 bolas lisas de $K$ debe ser igual al género del trozo de la superficie Seifert del nudo toroidal que limita, y esto es $\geq 1$ .

Si reducimos el planteamiento de 2. a diagramas de trenzas, obtenemos la desigualdad de Slice-Bennequin.

Bueno, aquí está la cosa. Tengo este suave cobordismo del nudo toroidal a $K$ y entonces sé que $K$ limita con un disco localmente plano. Esto significa que el género de las 4 bolas localmente planas del nudo toro debe ser menor que el género de sus 4 bolas lisas. Por tanto, si conjeturáramos que el género de las 4 bolas localmente planas de un nudo toro coincide con el género de sus 4 bolas lisas, estaríamos equivocados.

Mi pregunta es: ¿existe alguna conjetura sobre el género localmente plano del nudo toroidal? ¿Incluso asintóticamente? ¿Algún resultado? ¿Alguna forma conocida para tratar de estudiar esto?

Gracias, Andrew.

Answer 1

En relación con la investigación temprana de la conjetura de Thom, la firma G thm se utilizó alrededor de 1970 para dar límites de género de 4 bolas para nudos toroidales que asintóticamente (en algunos casos) eran una fracción fija de lo que ahora sabemos que es la respuesta de la categoría lisa. Creo que Larry Tayor observó (en los años 70 o principios de los 80) que estos límites de la signatura G también son válidos en el mundo topológicamente plano. Por lo tanto, creo que hay familias de nudos toroidales en los que se sabe que el geunus de la bola 4 plana es al menos una fracción conocida del género de la bola 4 lisa. Siento no tener las referencias a mano.

Answer 2

Soy consciente de que la siguiente respuesta llega con cierto retraso.

Rudolph trabajó en ello ( Algunas superficies topológicamente planas en el plano proyectivo complejo ), y más recientemente Baader, Feller, Liechti y yo ( https://arxiv.org/abs/1509.07634 ).

He aquí un breve resumen de lo que se sabe:

Las firmas de Levine-Tristram dan una cota inferior para el 4-género topológico de los nudos toroidales, que es asintóticamente igual a la mitad de sus 3 géneros . Esto es lo mejor que tenemos; otros métodos, como los invariantes de Casson-Gordon o $L^2$ -podrían dar mejores resultados, pero no se han calculado para nudos toroidales.

Se pueden obtener límites superiores mediante el "género algebraico": construyendo superficies de corte localmente planas mediante cirugía ambiental, utilizando el resultado de Freedman de que los nudos Alexander-polinomio-1 son topológicamente de corte. De este modo, se puede demostrar que para pequeños (3-géneros $\leq$ 14) nudos toroidales, el 4-género topológico es igual al máximo de las firmas de Levine-Tristram. En particular, para los ejemplos que menciona Ian, se tiene $g_4^t(T(3,7))=g_4^t(T(4,5))=5$ . En términos más generales, para $p<q$ se tiene $g_4^t(T(p,q)) < g_3(T(p,q))$ a menos que $p=2$ o $(p,q)\in\{(3,4),(3,5)\}$ .

Con el mismo método, se encuentra que, asintóticamente, el 4-género topológico de los nudos toroidales grandes es como máximo tres cuartas partes de sus 3 géneros .

Si nos sentimos aventureros, podríamos conjeturar que, para todos los nudos toroidales, el 4-género topológico es igual al máximo de las firmas de Levine-Tristram.

Answer 3

La firma/2 da un límite inferior al género de la bola 4. Mirando a través de un tabla de nudos toroidales los primeros que encontré donde el género liso es > firma/2 fueron T(7,3), T(5,4). No recuerdo el ejemplo de tu charla, pero ¿puedes demostrar que estas tienen un género topológico menor? Es posible que haya mejores estimaciones más bajas del género 4 procedentes de otros tipos de firmas.