¿qué significa que una función sea integrable en Riemann

Question

Necesito llegar a una definición matemática precisa de lo que es una función integrable de Riemann. Sé lo que es la integral de Riemann pero cuando busco definiciones todo lo que encuentro son pruebas de cómo probar que una función es integrable de Riemann. Necesito ayuda para crear una definición de lo que significa que una función sea integrable de Riemann que no incluya ninguna notación, sólo un par de frases matemáticas que definan las integrales de Riemann.

Answer 1

La integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann. Consideremos esta imagen de la página de Wikipedia :

Aproximamos el área bajo la función como una suma de rectángulos. Podemos ver que en este caso, la aproximación es cada vez mejor a medida que la anchura de los rectángulos es menor. De hecho, la suma de las áreas de los rectángulos converge a un número, este número se define como la integral de Riemann de la función.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que podemos dibujar estos rectángulos de varias maneras, como se muestra a continuación ( de esta página web )

Si, independientemente de cómo dibujemos los rectángulos, la suma de su área converge a algún número $F$ a medida que la anchura de los rectángulos se aproxima a cero, decimos que la función es integrable de Riemann y definimos $F$ como la integral de Riemann de la función. Para algunas funciones el área no convergerá, siendo el ejemplo canónico la función indicadora para los racionales $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}(x)$ que es $1$ si $x$ es un sistema racional y $0$ de lo contrario.

Answer 2

Tal vez una perspectiva histórica ayude. Nunca está de más tener muchos puntos de vista sobre lo que hace una definición matemática.

Durante la mayor parte del siglo XVIII, la integral se consideraba sólo una antiderivada, de la misma manera que muchos estudiantes de cálculo la siguen considerando. Si se quiere calcular $$ \int_a^b f(x)\,dx $$ realmente debes encontrar una antiderivada $F$ para la función $f$ y luego escribir o calcular $$ \int_a^b f(x)\,dx =F(b)-F(a).$$ Cauchy, a principios del siglo XIX, pensó que era necesario dar una base más rigurosa.

Si se supone que la función $f$ es continua y que las funciones continuas tienen antiderivadas entonces tome cualquier punto $a=x_0<x_1<x_2<x_3< \dots < x_n =b$ y utilizar el teorema del valor medio para seleccionar los puntos $\hat x_i\in (x_{x-1},x_i)$ para lo cual $$f(\hat x_i)\cdot(x_i-x_{i-1})=F(x_i)-F(x_{i-1}).$$ Si se comprueba cuidadosamente la aritmética muy simple, obtendrá que $$ \int_a^b f(x)\,dx =F(b)-F(a) = \sum_{i=1}^n f(\hat x_i)\cdot(x_i-x_{i-1}).$$ La brillante idea de Cauchy fue notar que, aunque sería difícil averiguar los puntos exactos $\hat x_i$ que hacen que esto funcione puedes usar, en cambio cualquier otro punto $\xi_i\in [x_{i-1},x_i]$ siempre y cuando $f(\hat x_i)$ y $f(\xi_i)$ están muy juntos. En el caso de las funciones continuas, esto es fácil de arreglar. No se obtiene una fórmula exacta para la integral, sino una fórmula aproximada: $$ \int_a^b f(x)\,dx =F(b)-F(a) \approx \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\cdot(x_i-x_{i-1}).$$

El resultado final es que Cauchy demostró que la integral de toda función continua podía ser aproximada por estas sumas de Riemann.

Riemann acaba de hacer la pregunta obvia:

¿Hay otras funciones (no sólo continuas) que también tengan una integral utilizando el mismo método de Cauchy.

Por tanto, la clase de funciones integrables de Riemann es la clase de funciones para las que funciona el método de Cauchy. Es algo más grande que la clase de las funciones continuas, una clase lo suficientemente grande como para que los matemáticos del siglo XIX pensaran que tenían una teoría de la integración bastante buena. (No la tenían.)

Answer 3

Una función positiva es integrable por Riemann en el intervalo $[a,b]$ si el mínimo de las sumas superiores es igual al sumo de las sumas inferiores. (Tendrás que buscar lo que es una suma superior y una suma inferior. Intuitivamente, una suma superior es una aproximación al área de la curva desde arriba, mientras que una suma inferior es una aproximación al área de la curva desde abajo).

En otras palabras, la mejor aproximación del área de la función desde abajo es igual a la mejor aproximación del área de la función desde arriba.

Answer 4

Para responder a esta pregunta, supondré que ya sabes lo que es la integral de una función escalonada. Primero responderé con notación, y luego daré una formulación equivalente sin notación.

Dejemos que $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ sea una función. Decimos que $f$ es Riemann-integrable si para cada $\epsilon > 0$ hay funciones de paso $\varphi$ y $\psi$ en $[a,b]$ tal que

1. $\varphi \leq f \leq \psi$ y

2. $\int (\psi - \varphi) \leq \epsilon$ .

Sin anotación: Una función sobre un intervalo cerrado y acotado se denomina integrable por Riemann si existen dos funciones escalonadas, respectivamente, por encima y por debajo de ella, y estas dos funciones escalonadas pueden elegirse siempre de forma que el área entre sus gráficas sea menor que cualquier cantidad especificada.

Answer 5

La integral de Riemann de una función sobre $[a,b]$ es el límite de las sumas de Riemann cuyas particiones $[a,b]$ se hacen cada vez más finas (es decir, la norma de la partición llega a cero). Si este límite existe, se dice que la función es integrable de Riemann y el valor de la integral de Riemann es el límite al que se acercan las sumas.