$2\times 2$ matriz real con exactamente un valor propio

Question

Problema: Sea $A$ ser un $2\times 2$ matriz real con exactamente un valor propio $\lambda \in \mathbb{R}$ pero que $A \not= \lambda I $ demuestre que existe una matriz invertible $P$ s $$ P^{-1}AP = \pmatrix{\lambda&1\\0&\lambda}$$

Lo que tengo como mucho:

En primer lugar, si $\lambda \in \mathbb{R}$ es un valor propio, entonces $(A - \lambda I )\mathbf{v} = 0$ para un vector distinto de cero $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^2$ . Y si $A - \lambda I \not = 0 $ es decir, el espacio eigénico de $\lambda$ es precisamente de dimensión $1$ .

Por lo tanto, existe $\mathbf{t}$ tal que y $\mathbf{t}$ y $\mathbf{v}$ son linealmente independientes, y $A \mathbf{t} \not= \lambda \mathbf{t}$ . Así que $A \mathbf{t} = \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{t} $ . donde $\alpha \not= 0$ (ya que de lo contrario $\beta$ sería un valor propio). Dando, $$ A \frac{\mathbf{t}}{\alpha} = \mathbf{v} + \beta \frac{\mathbf{t}}{\alpha}$$

Así, dejando $$P = \big[ \mathbf {v} \quad \frac{1}{\alpha}\mathbf{t} \big]$$ donde son vectores columna, se obtiene

$$ P^{-1}AP = \pmatrix{\lambda&1\\0& \beta/\alpha}$$

¿Qué me estoy perdiendo? ¿Puede alguien darme una pista? Gracias.

ediciones: Gracias por las soluciones. (También hecho ediciones de menor importancia como en los comentarios).

Answer 1

Clasificar todos los reales $ 2 \times 2 $ con respecto a sus polinomios mínimos, tenemos los tres casos siguientes: (excluyendo los valores propios complejos)

• Polinomio mínimo de grado uno, matrices diagonales.
• Polinomio mínimo de grado dos con raíces distintas, matrices diagonalizables.
• Polinomio mínimo de grado dos con raíces repetidas.

Como nuestra matriz sólo tiene un valor propio pero no es diagonal, entra en la tercera categoría; es decir, su polinomio mínimo es $ (x - \lambda)^2 $ donde $ \lambda $ es su valor propio. Por lo tanto, $ (A - \lambda I)^2 = 0 $ es decir, el mapa $ A - \lambda I $ en su núcleo.

Ahora, observe que el sistema dado por $ A v_1 = \lambda v_1 $ y $ A v_2 = v_1 + \lambda v_2 $ tiene un par de soluciones $ v_1, v_2 $ . De hecho, elige $ v_1 $ sea un vector propio correspondiente al valor propio $ \lambda $ y observe que la segunda ecuación es equivalente a $ (A - \lambda I)v_2 = v_1 $ . Desde $ v_1 $ abarca el núcleo y el mapa lineal mapea en su núcleo, podemos elegir $ v \notin \textrm{span} \{ v_1 \} $ y escalar adecuadamente para encontrar tal $ v_2 $ . Ahora, elija $ P $ la matriz $ (v_1, v_2) $ en forma de columna.

Answer 2

Si $P^{-1} A P = \begin{bmatrix} \lambda & 1\\ 0 & \lambda\end{bmatrix}$ entonces $A P = P \begin{bmatrix} \lambda & 1\\ 0 & \lambda\end{bmatrix}$ . Si $P = \begin{bmatrix} | & |\\ p_1 & p_2\\ | & |\end{bmatrix}$ entonces

$$\begin{bmatrix} | & |\\ A p_1 & A p_2\\ | & |\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} | & |\\ \lambda p_1 & p_1 + \lambda p_2\\ | & |\end{bmatrix}$$

Por lo tanto,

$$(A - \lambda I_2) \, p_1 = 0_2 \qquad \qquad \qquad (A - \lambda I_2) \, p_2 = p_1$$

Multiplicando a la izquierda ambos lados del último sistema lineal por $A - \lambda I_2$ ,

$$(A - \lambda I_2) \, p_1 = 0_2 \qquad \qquad \qquad (A - \lambda I_2)^2 \, p_2 = 0_2$$

donde $p_1, p_2$ deben ser linealmente independientes, de lo contrario $P$ no es invertible.