El título es un poco irónico, ya que tengo una pregunta muy particular, pero no sé cómo condensarla en un título conciso. Si tiene alguna sugerencia, hágamela saber.
Supongamos que tengo un Groupoide de Lie $G \rightrightarrows G_0$ con los siguientes datos:
- dos variedades finito-dimensionales (todo es liso) $G,G_0$ ,
- dos sumersiones suryectivas $l,r: G \to G_0$ ,
- una incrustación $e: G_0 \hookrightarrow G$ que es una sección de ambos mapas $l,r$ ,
- a derecho de composición $m: G \times_{G_0} G \to G$ donde el producto fibra es el pull back de $G \overset{r}\to G_0 \overset{l}\leftarrow G$ entrelazando las proyecciones $l,r$ a $G_0$ .
- Tal que así $m$ es asociativo, con lo que me refiero a los dos mapas obvios $G \times_{G_0} G \times_{G_0} G \to G$ de acuerdo,
- $m(e(l(g)),g) = g = m(g,e(r(g)))$ para todos $g\in G$ ,
- y hay un mapa $i: G \to G$ con $i\circ l = r$ y $i\circ i = \text{id}$ y $m(i(g),g) = e(r(g))$ y $m(g,i(g)) = e(l(g))$ .
Entonces tiene sentido hablar de functores lisos de grupos de Lie, transformaciones naturales lisas de functores, etc. En particular, podemos hablar de si dos groupoides de Lie son "equivalentes", y creo que una noción de calentamiento para "pila lisa" es "groupoide de Lie hasta la equivalencia". En realidad, creo que los expertos prefieren algunas generalizaciones de esto - (ciertos) bibundles en lugar de functores, por ejemplo. Pero estoy divagando.
Aparte de que sabemos lo que son las equivalencias de los groupoides de Lie, me gustaría señalar que podemos trabajar también en vecindades pequeñas. En efecto, si $U_0$ es un barrio abierto en $G_0$ entonces creo que puedo dejar $U = l^{-1}(U_0) \cap r^{-1}(U_0)$ y luego $U \rightrightarrows U_0$ es otro grupoide de Lie.
Oh, permítanme también recordar la noción de algebroide de Lie tangente $A \to G\_0$ a un grupoide de Lie . La definición que escribiré no parece muy simétrica en $l\leftrightarrow r$ pero el objeto final es. Las fibras del haz vectorial $A \to G\_0$ son $A\_y = {\rm T}\_{e(y)}(r^{-1}(y))$ el espacio tangente a lo largo de $e(G\_0)$ a la $r$ -fibras, y $l: r^{-1}(y) \to G\_0$ determina una ancla mapa $\alpha = dl: A \to {\rm T}G\_0$ y porque $e$ es una sección tanto de $l,r$ este mapa entrelaza las proyecciones, por lo que es un mapa de haz vectorial. De hecho, la composición $m$ determina un corchete de Lie en secciones de $A$ y $\alpha$ es un homomorfismo de álgebra de Lie a campos vectoriales en $G_0$ .
Supongamos que tengo una función suave $f: G_0 \to \mathbb R$ que es constante en $G$ -orbitos de $G_0$ es decir $f(l(g)) = f(r(g))$ para todos $g\in G$ . Me gustaría pensar en $f$ como una función Morse en "la pila $G_0 // G$ ". Entonces, supongamos $[y] \subseteq G_0$ es una órbita crítica, con lo que quiero decir: es una órbita del $G$ acción sobre $G_0$ y cada $y \in [y]$ es un punto crítico de $f$ . (Ya que $f$ es $G$ -invariante, los puntos críticos vienen necesariamente en órbitas). Si $y$ es un punto crítico de $f$ entonces tiene sentido hablar del Hessian que es un emparejamiento simétrico $({\rm T}\_yG\_0)^{\otimes 2} \to \mathbb R$ pero lo veré como un mapa $f^{(2)}\_y : {\rm T}\_yG\_0 \to ({\rm T}\_yG\_0)^*$ . En general, este mapa no será inyectivo, sino que el núcleo incluirá $\alpha\_y(A\_y) \subseteq {\rm T}\_yG\_0$ . Digamos que la órbita crítica $[y]$ es no degenerado si $\ker f^{(2)}_y = \alpha\_y(A\_y)$ es decir, si el hessiano es no degenerado como par en ${\rm T}\_yG\_0 / \alpha\_y(A\_y)$ . Estoy bastante seguro de que se trata de una condición de la órbita, no del punto individual.
La no degeneración descarta algún comportamiento singular de $[y]$ como la línea irracional en el toroide.
En fin, mi pregunta es la siguiente:
Supongamos que tengo un grupoide de Lie $G \rightrightarrows G_0$ y un $G$ -función suave invariante $f: G_0 \to \mathbb R$ y una órbita crítica no degenerada $[y]$ de $f$ . ¿Puedo encontrar un $G$ -vecindario invariante $U_0 \supseteq [y]$ de modo que el correspondiente grupoide de Lie $U \rightrightarrows U_0$ es equivalente a un grupoide $V \rightrightarrows V_0$ en el que $[y]$ corresponde a un único punto $\bar y \in V_0$ ? Es decir, empujar/tirar la función $f$ a $V_0$ a lo largo de la equivalencia; entonces puedo hacer $[y]$ en una crítica honestamente no degenerada punto $\bar y \in V_0$ ?
Estoy asumiendo, en la segunda formulación de la pregunta, que $f$ empuja/tira a lo largo de la equivalencia a un $V$ -función invariante $\bar f$ en $V_0$ . También estoy asumiendo, así que si me equivoco espero que me pongan bien, que ${\rm T}\_{\bar y}V\_0 \cong {\rm T}\_yG\_0 / \alpha\_y(A\_y)$ canónicamente, de modo que, por ejemplo $\bar f^{(2)}_{\bar y} = f^{(2)}_y$ .
