Estoy de acuerdo con usted en que $4$ es el límite.
Informalmente, la definición de $x \to a \implies f(x) \to L$ dice que para cualquier distancia que elijamos alrededor de $L$ deberíamos ser capaces de encontrar una distancia alrededor de $a$ tal que para todo $x$ dentro de esa distancia alrededor de $a$ (es decir, para todos $x$ *really close to $a$ ), tendremos todos los $f(x)$ dentro de la primera distancia de $L$ (es decir, tendremos todas las $f(x)$ realmente cerca de $L$ ). En matemáticas, esto es:
$f(x) \to L$ como $x \to a$ si para cada $\epsilon > 0$ , $\exists \delta > 0$ tal que $|x - a| < \delta$ implica $|f(x) - f(a)|< \epsilon$ . Obsérvese que decimos para cada $\epsilon > 0$ por lo que debe ser cierto como $\epsilon$ se hace cada vez más pequeño, que siempre podremos encontrar alguna distancia alrededor de $a$ tal que todos los elementos $x$ dentro de esa distancia tendrá $f(x)$ en $\epsilon$ de $L$ .
Ahora, el trabajo que hizo fue una especie de trabajo "hacia atrás" para encontrar el $\delta$ y esto es muy común en $\epsilon$ - $\delta$ pruebas. Usted dijo: supongamos que tenemos que $|\dfrac{x^{2} + 2x - 3}{x - 1} - 4| < \epsilon$ es decir, la distancia entre $f(x)$ y $4$ es inferior a $\epsilon$ . Bueno, si eso es verdad, entonces tu siguiente línea debería ser verdad, y si eso es verdad entonces la siguiente línea después de esa debería ser verdad, etc. Llegaste hasta $|x - 1| < \epsilon$ . Eso significa que si es cierto que $|x - 1|< \epsilon$ (es decir, la distancia entre $x$ y $1$ es inferior a $\epsilon$ ), entonces es cierto que nuestra función es menor que $\epsilon$ lejos de $4$ . Así que en su prueba, el $\delta$ que encontraste fue en realidad $\delta = \epsilon$ .
