¿Qué significa Núcleo del mapa natural?

Question

Sea $G$ sea un grupo topológico y sea $H$ sea un subgrupo normal. Demostrar que $G/H$ es un grupo topológico, donde $G/H$ se considera el espacio cociente de $G$ por el núcleo del mapa natural.

¿Qué significa "por el núcleo del mapa natural"?

Entiendo que el mapa natural es un mapa de un espacio a su espacio cociente que mapea puntos a sus clases de equivalencia, pero no entiendo a qué se refieren con núcleo del mapa natural ya que está hablando de un espacio topológico.

Entiendo " $G/H$ es un espacio cociente de $G$ ". Esto significa que el mapa natural $v: G \rightarrow G/H$ a través de alguna partición o relación de equivalencia que dé como resultado el espacio $G/H$ .

Answer 1

A priori, la notación $G/H$ puede significar dos cosas diferentes en este contexto:

• (Espacios topológicos) $G/H$ es el espacio obtenido a partir de $G$ colapsando todo $H$ a un punto (es decir, como conjunto, cociente de $G$ por la relación de equivalencia generada por $h \sim h'$ para todos $h,h' \in H$ );
• (Grupos) $G/H$ es el grupo de cosets izquierdos $gH$ (es decir, como conjunto, cociente de $G$ por la relación de equivalencia $g \sim g' \iff g^{-1}g' \in H$ ).

Si $G$ es un grupo topológico y $H$ un subgrupo normal, entonces $G/H$ debe interpretarse siempre en el sentido de grupos (segundo punto). Creo que la redacción del autor pretendía indicar eso: $G/H$ es un algebraico cociente (teórico de grupo), es decir, es el cociente de $G$ por el núcleo $H$ del mapa de proyección canónica $G \to G/H$ que envía un elemento a su coset.