Prueba de composición

Question

Estoy intentando estudiar funciones en matemáticas y aprender algunas pruebas básicas. En numerosos sitios he visto esto: $$(f \circ\ g) ^{-1}(u) = g^{-1}(f^{-1}(u))$$ Sé que esto también es cierto, ya que lo he utilizado en numerosos lugares en la escuela media y secundaria. ¿Hay alguna forma de demostrar esta definición mediante pasos lógicos? Gracias.

Answer 1

Suponiendo que $g : A \to B$ y $f : B \to C$ entonces, por definición, $(f\circ g)^{-1} : C\to A$ es el único tal que

• $(f\circ g)^{-1}\circ(f\circ g) = \textrm{id}_A$ y
• $(f\circ g)\circ(f\circ g)^{-1} = \textrm{id}_C$ .

Pero observe que la función $g^{-1}\circ f^{-1} : C\to A$ tiene las mismas propiedades: $$\begin{align} (g^{-1}\circ f^{-1}) \circ (f\circ g) &= \big( g^{-1} \circ (f^{-1} \circ f) \big) \circ g \\ &= ( g^{-1} \circ \textrm{id}_B) \circ g \\ &= g^{-1} \circ g = \textrm{id}_A \end{align}$$ et $$\begin{align} (f\circ g) \circ (g^{-1}\circ f^{-1}) &= \big( f \circ (g \circ g^{-1}) \big) \circ f^{-1} \\ &= ( f \circ \textrm{id}_B) \circ f^{-1} \\ &= f \circ f^{-1} = \textrm{id}_C. \end{align}$$ Por lo tanto, $g^{-1}\circ f^{-1}$ y $(f\circ g)^{-1}$ son iguales.

Answer 2

Asumir funciones $g:A\mapsto B, f:B\mapsto C$ son biyectivas (por tanto, invertibles).

Por definición : $(f\circ g)(x)=f(g(x))$

Aplicar la inversión:

$$g^{-1}(f^{-1}((f\circ g)(x)))=x$$

Que : $x=(f\circ g)^{-1}(u)$ lo que significa también $u=(f\circ g)(x)$

Por lo tanto $$g^{-1}(f^{-1}(u))=(f\circ g)^{-1}(u)$$

Answer 3

Para demostrar que algo es la inversa de una función, basta con comprobar que las composiciones funcionan como se espera, es decir, si se cree que $g(x)$ es la inversa de $f(x)$ y, a continuación, muestre $f(g(x))=x$ y $g(f(x))=x$ . Esto demostrará que $g(x)= f^{-1}(x)$ .

Defina $G(u)= (f \circ g)(u)$ y $H(u)= g^{-1}(f^{-1}(u))$ . Ahora comprueba que $H(G(u))=u$ y $G(H(u))=u$ . Usted querrá utilizar el hecho de que $f,g$ tienen inversas, es decir $f^{-1}, g^{-1}$ existen para que $f(f^{-1}(x))=x$ , $f^{-1}(f(x))=x$ y $g(g^{-1}(x))=x$ , $g^{-1}(g(x))=x$ .

Answer 4

Para cualquier $x$ en el dominio, sea $y=(f\circ g)^{-1}(x)$ . Obsérvese que los siguientes son equivalentes:

$$y=(f\circ g)^{-1}(x)$$ $$(f\circ g)(y)=x$$ $$f(g(y))=x$$ $$g(y)=f^{-1}(x)$$ $$y=g^{-1}(f^{-1}(x))$$ $$y=(g^{-1}\circ f^{-1})(x)$$

De ello se deduce que $(f\circ g)^{-1}(x)=y=(g^{-1}\circ f^{-1})(x)$