Haz principal (o torsor) de un grupo diagonalizable sobre un toroide

Question

Sea $T$ sea un toro algebraico y $G$ un grupo diagonalizable; ambos son sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ de característica $0$ (toma $k=\mathbb C$ si lo desea).

Estoy tratando de entender principal $G$ - $P\to T$ en $T$ pero estoy llegando a conclusiones contradictorias desde dos perspectivas.

---

Por lo que he leído (por ejemplo, pg 11-13 aquí: https://arxiv.org/pdf/2009.08675.pdf ), el espacio total $P$ viene dada por $$P=\operatorname{Spec}_T\left(\bigoplus_{m\in\Gamma} \mathcal L^{\otimes m}\right)$$ donde $\Gamma$ es el grupo de caracteres de $G$ (así $\Gamma$ es un grupo abeliano finitamente generado) y $\mathcal L$ es un producto de haces de líneas sobre $T$ indexado por generadores para $\Gamma$ (alguna posible torsión, si $\Gamma$ tiene torsión).

Pero los haces de líneas en $T$ son todas triviales, por lo que $\color{red}{\text{I think we just have (?)}}$

$$\begin{align}\operatorname{Spec}_T\left(\bigoplus_{m\in\Gamma} \mathcal L^{\otimes m}\right) = \operatorname{Spec}_T\left(\bigoplus_{m\in\Gamma} \mathcal O_T^{\otimes m}\right) = \operatorname{Spec}(k[T][\Gamma]) &= \operatorname{Spec}(k[T]\otimes_k k[\Gamma])\\&= T\times G.\end{align}$$

Esto parece implicar que cada principal $G$ -bundle over $T$ es trivial.

---

Por otro lado, considere el siguiente ejemplo. Tomemos $G=\{1,-1\}$ (es decir $\mu_2$ ) como subgrupo de $T=\mathbb G_m$ (rango $1$ toroidal). Entonces tenemos una secuencia exacta $$1 \to G \to T \xrightarrow{t\mapsto t^2} T \to 1$$ donde el mapa $T\to T$ vía $t\mapsto t^2$ es un director $G$ -bundle over $T$ . Esto debería no sea trivial, ya que $T\not\cong T\times G$ en este caso (es decir, la secuencia exacta no se divide).

Esto parece contradecir el planteamiento anterior.

---

Mi pregunta es: ¿alguien puede explicarme en qué me he equivocado? ¿Es uno de los enfoques correcto y el otro incorrecto?

Edita: Creo que en el primer enfoque el $\mathcal O_T$ -dependerá de la torsión en $\Gamma$ . Por ejemplo, si $\Gamma=\mathbb Z/2$ entonces $\mathcal O_T$ -dependerá de la elección del isomorfismo $\mathcal O_T^{\otimes 2}\to\mathcal O_T$ . Si esto es correcto, entonces supongo que todo se reduce a entender estos isomorfismos y cómo dan diferentes $\mathcal O_T$ -estructuras de álgebra, lo que sigue confundiéndome.

Answer 1

Sólo para sacar esto de la lista de preguntas sin respuesta, me extenderé en mi comentario anterior.

Su error estaba en la comprensión del espacio total de un $\mu_{n,X}$ -torsor como $\underline{\mathrm{Spec}}\left(\bigoplus_{i=0}^{n-1}\mathscr{L}^{\otimes i}\right)\to X$ donde $\mathscr{L}$ es un $n$ -elemento de torsión de $\mathrm{Pic }(X)$ . A saber, ¿cómo está pensando en un $\bigoplus_{i=0}^{n-1}\mathscr{L}^{\otimes i}$ como un cuasi-coherente $\mathscr{O}_X$ -¿Álgebra? En concreto, la multiplicación aquí debería obtenerse a través de los mapas naturales

$$\mathscr{L}^{\otimes a}\otimes \mathscr{L}^{\otimes b}\to \mathscr{L}^{\otimes(a+b)},$$

pero, por supuesto, como sólo consideramos $\mathscr{L}^{\otimes i}$ para $i=0,\ldots,n-1$ lo que realmente necesitas es un mapa como

$$\mathscr{L}^{\otimes a}\otimes \mathscr{L}^{\otimes b}\to \mathscr{L}^{\otimes(a+b\mod n)}.$$

Esto es posible ya que $\mathscr{L}^{\otimes n}\cong \mathscr{O}_X$ pero no canónicamente. De hecho, es necesario fijar un isomorfismo $\iota\colon \mathscr{L}^{\otimes n}\xrightarrow{\approx}\mathscr{O}_X$ y entonces a partir de esta estructura se puede dar $\bigoplus_{i=0}^{n-1}\mathscr{L}^{\otimes i}$ la estructura de un cuasi-coherente $\mathscr{O}_X$ -álgebra.

Llamemos a esta estructura algebraica $\mathscr{A}(\mathscr{L},\iota)$ . Entonces, se puede comprobar que la clase de isomorfismo de $\mathscr{A}(\mathscr{L},\iota)$ sólo depende de la siguiente relación de equivalencia sobre el par $(\mathscr{L},\iota)$ : $(\mathscr{L}_1,\iota_1)\sim (\mathscr{L}_2,\iota_2)$ es que existe un isomorfismo $f\colon \mathscr{L}_1\xrightarrow{\approx}\mathscr{L}_2$ tal que $\iota_2\circ f^{\otimes n}=\iota_1$ . De este modo, utilizando $H^1(X,\mu_{n,X})$ para denotar las clases de isomorfismo de $\mu_{n,X}$ -torsores, se obtiene un mapa

$$\{(\mathscr{L},\iota)\}/\sim\, \longrightarrow\, H^1(X,\mu_{n,X}).$$

En realidad, se trata de un isomorfismo de grupos en el que se define una estructura de grupo en el origen de la forma obvia: $(\mathscr{L}_1,\iota_1)\otimes (\mathscr{L}_2,\iota_2)=(\mathscr{L}_3,\iota_3)$ donde $\mathscr{L}_3=\mathscr{L}_1\otimes\mathscr{L}_2$ y $\iota_3$ es la composición de

$$(\mathscr{L}_1\otimes\mathscr{L}_2)^{\otimes n}\xrightarrow{\text{natural}}\mathscr{L}_1^{\otimes n}\otimes \mathscr{L}_2^{\otimes n}\xrightarrow{\iota_1\otimes\iota_2}\mathscr{O}_X\otimes\mathscr{O}_X\xrightarrow{\text{natural}}\mathscr{O}_X.$$

Hay varias formas de demostrar esta afirmación, permítanme enumerar dos.

1. Primero puede demostrar que la asociación de $\mathscr{L}$ de la gavilla $\underline{\mathrm{Isom}}(\mathscr{O}_X,\mathscr{L})$ (que se asocia a un $X$ -esquema $T$ los isomorfismos $\mathscr{O}_T\to \mathscr{L}_T$ ) es en realidad un isomorfismo $\mathrm{Pic}(X)\to H^1(X,\mathbf{G}_{m,X})$ -- esto es clásico, por ejemplo ver aquí . Se puede deducir el resultado para $\mu_{n,X}$ trazando a través de la larga secuencia exacta en cohomología obtenida de la secuencia de Kummer $1\to \mu_{n,X}\to\mathbf{G}_{m,X}\to\mathbf{G}_{m,X}\to 1$ .
2. Una razón más conceptual (que también maneja el caso de $\mathbf{G}_{m,X}$ -torsores) es ver que $\mathscr{A}(\mathscr{L},\iota)$ representa el esquema $\underline{\mathrm{Isom}}((\mathscr{O}_X,\iota_0),(\mathscr{L},\iota))$ donde $\iota_0\colon \mathscr{O}_X^{\otimes n}\xrightarrow{\approx}\mathscr{O}_X$ es el mapa obvio. Se gana entonces del yoga general que si $\mathcal{S}$ es cualquier pila sobre un sitio $\mathcal{X}$ y cualquier $x$ es cualquier objeto de $\mathcal{C}_T$ (para $T$ un objeto de $\mathcal{X}$ ), la asociación $y\mapsto \underline{\mathrm{Isom}}(x,y)$ es un isomorfismo $\mathrm{Tw}(x)\to H^1(T,\underline{\mathrm{Aut}}(x))$ . Aquí $\mathrm{Tw}(x)$ es la (clase de isomorfismo) de los objetos de $\mathcal{C}_T$ que son localmente isomorfas a $x$ (es decir, los "giros"). ¿Por qué es importante en este caso? Bueno, los haces de líneas forman una pila y, por tanto, también los pares $(\mathscr{L},j)$ donde $j\colon \mathscr{L}^{\otimes m}\to \mathscr{O}_X$ . Obsérvese entonces que $\{(\mathscr{L},\iota)\}/\sim$ es precisamente $\mathrm{Tw}((\mathscr{O}_X,\iota_0))$ . Pero, ¿qué es $\underline{\mathrm{Aut}}(\mathscr{O}_X,\iota)$ ? Es precisamente $\mu_{n,X}$ ¡!