¿Si un conjunto tiene medida infinita NO es medible por Lebesgue? En caso afirmativo, ¿por qué?

Question

La definición que me han dado para los conjuntos medibles de Lebsgue es la siguiente:

Los conjuntos E para los que $\mu E $ está definido, es decir, para el que $\theta A = \theta(AnE) + \theta (A|E) $ para todo A contenido los reales se llaman conjunto medible de Lebesgue.

(Supongo que esta definición sigue el método Catheradorys)

A partir de esto pensé que si E tenía medida infinita entonces sería difícil de definir $\ \theta(A|E) $ .

¿Puede alguien explicarme esta definición? Creo que no la entiendo del todo. ¿Cómo se sabe que un conjunto es medible/Lebesgue medible?

Gracias.

Answer 1

Un conjunto puede tener una medida exterior infinita, sin ser realmente mensurable. Como has escrito, un conjunto $E$ es (Lebesgue) medible si, para todo $A \subseteq \mathbb{R}$ , $$ \lambda^*(A) = \lambda^*(A \cap E) + \lambda^*(A \cap E^c).$$ Aquí $\lambda^*$ es la medida exterior (de Lebesgue). Cuando hablamos de subconjuntos "medibles" de $\mathbb{R}$ a menos que se mencione otra medida, estamos hablando de la medida de Lebesgue. La medida exterior se define para cada subconjunto de $\mathbb{R}$ .

Consideremos el ejemplo mencionado por otro usuario en los comentarios anteriores: dejemos que $F$ sea un subconjunto no medible de $[0,1]$ y que $E = F \cup [2,\infty)$ .

Entonces $E$ tiene medida exterior infinita, como podemos demostrar. También podemos demostrar que $G = (-\infty, 1]$ es medible, y que la intersección de dos conjuntos medibles es medible. Por lo tanto, si $E$ era medible entonces $E \cap G = F$ también sería mensurable. Esto es imposible, así que $E$ no puede medirse.