En realidad, hay algunos resultados de volumen hiperbólico debidos a François Costantino que puede encontrar en su página web
http://www-irma.u-strasbg.fr/~costanti/Papers%20and%20preprints.html
Especialmente los artículos de Proceedings of the London Math Society y Geometry and Topology.
También Stavros tiene una conjetura interesante sobre el invariante Reshitkhin-Turaev de las variedades cerradas y el invariante complejo Chern-Simons, que incluye el volumen.
http://arxiv.org/abs/0711.1716
La idea de Stavros es formar una función generadora cuyos coeficientes sean los invariantes Reshetikhin-Turaev de la variedad de nivel $r$ . Demuestra que la serie de potencias converge en una vecindad de cero en el plano, y luego conjetura que el regulador de Borel de la variedad tiene algo que ver con los polos de la continuación analítica.
De forma más especulativa, utilizando los valores estándar de $q$ es decir $e^{2\pi i/r}$ donde $r\geq 3$ es un número entero, el invariante Reshetikhin-Turaev de un tres-manifold crece polinómicamente, donde el exponente es la mitad de la dimensión compleja de su $SL(2,C)$ -Variedad de personajes, para no tener un crecimiento exponencial. Esto significa que la asintótica de los valores de los invariantes es bastante sutil.
Por otra parte, al elegir otras primitivas $r$ -raíces de la unidad, se rompe la positividad de las dimensiones cuánticas de las representaciones y se puede obtener un crecimiento exponencial. El fracaso de la positividad se aborda en el gran artículo de Habegger, Masbaum, Vogel y Blanchet en Topology sobre TQFT. En fin...
No conozco los resultados de ningún experimento sobre el crecimiento del invariante Reshetikhin-Turaev con tales elecciones. Mi suposición es que la tasa de crecimiento exponencial refleja la geometría de la variedad subyacente.
En una dirección ligeramente diferente, utilizando valores "malos" de $q$ como en el caso anterior, Gregor Masbaum, Jorgen Anderson y Kenji Ueno fueron capaces de recuperar la longitud de traslación de un elemento del grupo de clases de mapas de una superficie plana con cuatro componentes de contorno en el espacio de Teichm\"{u}ller a partir de la representación en el espacio de estados asignada a la superficie por la TQFT con esquinas subyacente al invariante de Reshetikhin-Turaev. Lo obtienen como la tasa de crecimiento exponencial de la traza del morfismo inducido.
Véase, por ejemplo:
Andersen, Jørgen Ellegaard; Masbaum, Gregor; Ueno, Kenji La teoría cuántica topológica de campos y la clasificación de Nielsen-Thurston del $M(0,4)$ . Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 141 (2006), no. 3, 477--488
La conjetura del volumen no sólo no se ha resuelto, sino que es sólo la punta del iceberg cuando se trata de detectar geometría clásica a partir de límites semiclásicos.
