Determine si $(2,0,1,0)$ es una base de $F$ un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^4$ con $\dim F = 2$ .

Question

Las soluciones de mi libro dicen que no pero no entiendo por qué no. Este vector se puede escribir como una combinación lineal de 2 vectores: $$(2,0,1,0) = 2(1,0,0,0)+1(0,0,1,0) \\ F = \langle (1,0,0,0),(0,0,1,0)\rangle$$

Ambos vectores son linealmente independientes, y hay dos vectores ( $\dim F = 2$ ). ¿Por qué $(2,0,1,0)$ ¿una base de F?

Answer 1

En primer lugar, una base no es un vector. Una base es un conjunto de vectores. Así que $(2,0,1,0)$ no puede ser una base porque es sólo un vector. No es un conjunto de vectores.

En segundo lugar, si un espacio vectorial $V$ tiene dimensión $n$ entonces cualquier base para $V$ debe tener $n$ elementos.

Se nos da que $F$ es el espacio abarcado por $(1,0,0,0)$ y $(0,0,1,0)$ . Por lo tanto $F$ tiene dimensión $2$ . Por lo tanto, cualquier base para $F$ debe ser un conjunto de dos vectores.

$(2,0,1,0)$ es sólo un vector. Necesitaríamos un conjunto de dos vectores para obtener una base para $F$ .

Answer 2

Por supuesto que no. Un solo vector abarca como mucho un espacio unidimensional. Pero $F$ es bidimensional (tramo de dos vectores linealmente independientes).