Creo que esta pregunta ya se ha planteado, pero no encuentro ningún rastro preciso de ella. No entiendo la diferencia entre números cardinales y ordinales: ¿por qué no coinciden ambos con las clases de equivalencia bajo la relación "estar en biyección con"?
Respuestas
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justabit
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83
Esto no es fácil de entender, porque en los conjuntos finitos no hay mucha diferencia. La idea es que para los números ordinales también tienes una relación entre los números, por lo que puedes ponerlos en línea. Tomemos como ejemplo los números $$ 0,\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{8},...,\frac{2^n-1}{2^n},...,1. $$ Ahora bien, este conjunto tiene la misma cardinalidad que $\mathbb{N}$ (porque hay una biyección) pero si quisieras encontrar una biyección $\Phi$ a los números naturales preservando el orden de los números, esto no sería posible. Preservar el orden significa $ x < y \Longrightarrow \Phi(x) < \Phi(y)$ . No es posible, ya que tienes el elemento más grande 1, que tendría que ser más grande que todos los números naturales (pero no es obvio). En cierto modo, los números ordinales son una herramienta más fina para describir el tamaño de un conjunto. Por ejemplo $ 2 \omega + 5$ tiene el mismo número ordinal que $$ 0,\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{8},...,\frac{2^n-1}{2^n},...,1,1+\frac{1}{2},...,1+\frac{2^n-1}{2^n},...,2,3,4,5,6 $$ tiene el mismo número ordinal que $$ \frac{7}{8},...,\frac{2^n-1}{2^n},...,1,1+\frac{1}{2},...,1+\frac{2^n-1}{2^n},...,2,3,4,5,6 $$ porque tiene que "limitar-dientes" y después 5 elementos.
Francesco Pagani
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31
Si necesito números para contar "cuántos objetos tengo", utilizo números cardinales. Si necesito hacer una lista, o una enumeración, utilizo ordinales.
Para los conjuntos finitos no hay diferencia. Si tiene cardinalidad $3$ , puede tener la lista: $[a,b,c]$ o $[a,c,b]$ o $[b,c,a]$ o ... pero tienen la misma estructura, por lo que sólo hay un ordinal correspondiente al cardinal $3$ .
Si tiene el set $\mathbb{N}=\{0,1,2...\}$ y añades un elemento $x$ la cantidad de artículo es la misma que antes, porque es de nuevo $\aleph_0$ . Sin embargo, si se trabaja con listas las cosas son diferentes.
Puede decidir que $x$ está entre $2$ y $3$ en este caso la nueva lista $0,1,2,x,3,4,...$ es esencialmente el mismo que el original $\mathbb{N}$ . Puede decidir que $x$ es mayor que cualquier número anterior, en este caso la lista $0,1,2,3,...,x$ es diferente de $\mathbb{N}$ . Por ejemplo, la nueva lista tiene un máximo, $\mathbb{N}$ no tiene límites.
Así que hay esencialmente diferentes maneras de poner un orden sobre un conjunto infinito, por lo que no se puede colapsar el concepto de ordinal y cardinal.
