Gradiente de una función vectorial multivariante

Question

¿Cómo se define, en general, el gradiente de una función multivariante de valor vectorial con respecto a dos vectores de distinto tamaño?

Mi intento ha sido (utilizando la notación del Página de Wikipedia ):

Dada una función vectorial $z=f(x,y)$ donde $x \in \mathbb R^{m \times 1}$ , $y \in \mathbb R^{n \times 1}$ y $z \in \mathbb R^{p \times 1}$ son vectores para $m \neq n$ , $n \neq l$ y $l \neq m$ , $$\begin{equation} \nabla f(x,y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \end{bmatrix} \end{equation}$$

Sin embargo, los tamaños de $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ y $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ son $(p \times m)$ y $(p \times n)$ respectivamente, y por tanto no tienen dimensiones compatibles para ser combinadas en una $(2 \times 1)$ vector como el que se muestra arriba. Por lo tanto, esta definición debe ser inválida.

¿Cuál es la forma correcta de definir el gradiente de una función como ésta? Sólo he podido encontrar en Internet otra pregunta/fuente relacionada con esto, pero no da una respuesta general para funciones de vectores de diferentes tamaños. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Siempre soy partidario de introducir las derivadas (después del cálculo 101) utilizando espacios vectoriales, ya que convierte cualquier otro caso en un caso particular.

L $\mathrm{U}, \mathrm{V}$ ser dos normalizado y que $f: \mathrm{U} \to \mathrm{V}$ sea una función cualquiera. Decimos que $f$ es diferenciable en un punto $u \in \mathrm{U}$ si $f$ posee la expansión de primer orden en torno a $u,$ es decir, si existe un función lineal continua $L:\mathrm{U} \to \mathrm{V}$ tal que para todo $h$ en una vecindad de cero en $\mathrm{U},$ $$f(u + h) = f(u) + L(h) + o(h),$$ donde la notación "litte-oh" $o(h)$ representa una función tal que $\lim\limits_{\substack{h \to 0 \\ h \neq 0}} \dfrac{o(h)}{\|h\|} = 0.$

Se puede demostrar que $L$ depende únicamente de $u,$ $f$ y las topologías de los espacios normados $\mathrm{U}$ y $\mathrm{V},$ por lo que es conveniente escribirlo como $L = f'(u).$

Se pregunta sobre el caso en que $\mathrm{U} = \mathrm{U}_1 \times \mathrm{U}_2$ es el producto de dos espacios normados. En este caso, tenemos que hablar de derivadas parciales. Para un punto determinado $(u_1, u_2),$ introducir el funciones parciales $f(u_1, \cdot):\mathrm{U}_2 \to \mathrm{V}$ y $f(\cdot, u_2): \mathrm{U}_1 \to \mathrm{V}$ como sigue: $$f(u_1, \cdot):v_2 \mapsto f(u_1, v_2), \quad f(\cdot, u_2): v_1 \mapsto f(v_1, u_2).$$ También introducimos el inyecciones canónicas basadas en $(u_1, u_2)$ por $j_1:v_1 \mapsto (v_1, u_2)$ y $j_2:v_2 \mapsto (u_1, v_2).$ Entonces, podemos escribir $$f(u_1, \cdot) = f \circ j_2, \quad f(\cdot, u_2) = f \circ j_1.$$ En regla de la cadena demostrará que si $f$ es diferenciable en $(u_1, u_2)$ entonces las funciones parciales basadas en $(u_1, u_2)$ también son diferenciables. Además, la derivada de las funciones parciales será $\partial_{u_1} f = f' \circ j_1'$ y puesto que $j_1 = (0, u_2) + i_1$ donde $i_1$ es una función lineal $i_2(v_1) = (v_1, 0),$ se puede demostrar que su derivada es $j_1'(h_1) = i_1'(h_1) = (h_1, 0)$ y así $\partial_{u_1} f(h_1) = f'(j_1(u_1)) j_1'(h_1) = f'(u_1, u_2) \cdot (h_1, 0).$ La función lineal contionua $h_1 \mapsto f'(u_1, u_2) \cdot (h_1, 0)$ se conoce como primera derivada parcial de $f$ en $(u_1, u_2)$ la segunda derivada parcial de $f$ se define mutatis mutandis. Esto permite escribir el relación fundamental entre la "derivada total" y la "derivada parcial" $$f'(u_1, u_2)\cdot (h_1, h_2) = f'(u_1, u_2) \cdot (h_1, 0) + f'(u_1, u_2) \cdot (0, h_2) = \partial_{u_1} f(h_1) + \partial_{u_2} f(h_2).$$

Cuando todos los espacios normados son algún espacio euclidiano (es decir, algún $\mathbf{R}^n$ ), entonces podemos identificar cada función lineal con su matriz canónica. Supongamos que $\mathrm{U}_1 = \mathbf{R}^{p}, \mathbf{U}_2 = \mathbf{R}^q$ y $\mathbf{V} = \mathbf{R}^r.$ Entonces $\mathrm{U} = \mathbf{R}^{p+q}$ y así $f'(u_1, u_2)$ debe ser una función lineal de $\mathbf{R}^{p+q}$ en $\mathbf{R}^r,$ es decir, una matriz de tipo $(r, p + q)$ ( $r$ "filas" y $p+q$ "columnas"). La regla anterior establece que la primera derivada parcial corresponde a la primera $p$ columnas de la derivada total (ya que $(h_1, 0) \in \mathbf{R}^p \times \{0\}$ ), y el segundo parcial corresponde al último $q$ columnas ( $(0, h_2) \in \{0\} \times \mathbf{R}^q$ ). Por lo tanto, $$\nabla f(x,y) = \left[ \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} \right]$$ donde la notación parcial son matrices de tipos $(r, p)$ y $(r, q)$ respectivamente.

Nota. A menudo los autores hacen lo siguiente sin mencionarlo nunca. Supongamos que $f:\mathbf{R}^n \to \mathbf{R}.$ Por lo dicho anteriormente, debemos tener $$\nabla f = \left[ \partial_{x_1} f, \ldots, \partial_{x_n} f \right]$$ ya que la matriz que representa la derivada de $f$ debe representar una función lineal de $\mathbf{R}^n$ en $\mathbf{R},$ por lo que es del tipo $(1, n).$ Sin embargo se cree firmemente que esta matriz debe para ser un vector, y como tal, la gente escribe su transposición, de ahí la confusión que tenías.