$\sum_{a+b+c=n}ab \binom{n}{a,b,c}=n(n-1)3^{n-2}$

Question

Quiero demostrar $\sum_{a+b+c=n}ab \binom{n}{a,b,c}=n(n-1)3^{n-2}$ .

Teniendo en cuenta el teorema multinomial, fijando dos de las variables iguales a $1$ y finalmente diferenciando ambos lados dos veces, obtenemos otra identidad, que es $\sum_{a+b+c=n}a(a-1) \binom{n}{a,b,c}=n(n-1)3^{n-2}$ que tiene un aspecto diferente del anterior.

En realidad, también demostré la identidad anterior combinatoriamente, pero no sé cómo se relacionan estos dos resultados de aspecto diferente.

Answer 1

Otro enfoque que reduce los coeficientes multinomiales a coeficientes binomiales. $$ \begin{align} \sum_{a+b+c=n}ab\binom{n}{a,b,c} &=\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^{n-a}ab\binom{n}{a}\binom{n-a}{b}\tag{1a}\\ &=\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^{n-a}a(n-a)\binom{n}{a}\binom{n-a-1}{b-1}\tag{1b}\\ &=\sum_{a=1}^na(n-a)\binom{n}{a}2^{n-a-1}\tag{1c}\\ &=\sum_{a=1}^na(n-1)\binom{n}{a}2^{n-a-1}-\sum_{a=1}^na(a-1)\binom{n}{a}2^{n-a-1}\tag{1d}\\ &=\sum_{a=1}^nn(n-1)\binom{n-1}{a-1}2^{n-a-1}-\sum_{a=1}^nn(n-1)\binom{n-2}{a-2}2^{n-a-1}\tag{1e}\\ &=\frac{n(n-1)}2\,3^{n-1}-\frac{n(n-1)}2\,3^{n-2}\tag{1f}\\[9pt] &=n(n-1)\,3^{n-2}\tag{1g} \end{align} $$ Explicación:
$\text{(1a):}$ cuando $n=a+b+c$ , $\binom{n}{a,b,c}=\binom{n}{a}\binom{n-a}{b}$
$\text{(1b):}$ $b\binom{n-a}{b}=\binom{n-a-1}{b-1}$
$\text{(1c):}$ suma en $b$ utilizando el Teorema Binomial
$\text{(1d):}$ $n-a=(n-1)-(a-1)$
$\text{(1e):}$ $a\binom{n}{a}=n\binom{n-1}{a-1}$
$\phantom{\text{(1e):}}$ aplicar una vez a la suma de la izquierda y dos veces a la suma de la derecha
$\text{(1f):}$ suma en $a$ utilizando el Teorema Binomial
$\text{(1g):}$ simplifique

Answer 2

$$ \begin{array}{l} \sum\limits_{a + b + c = n} {ab\left( \begin{array}{c} n \\ a,b,c \\ \end{array} \right)} = \sum\limits_{a + b + c = n} {ab\frac{{n!}}{{a!b!c!}}} = \sum\limits_{\begin{array}{*{20}c} {1 \le a,b} \\ {a + b + c = n} \\ \end{array}} {\frac{{n!}}{{\left( {a - 1} \right)!\left( {b - 1} \right)!c!}}} = \\ = \sum\limits_{\begin{array}{*{20}c} {0 \le c,d,e} \\ {d + e + c = n - 2} \\ \end{array}} {\frac{{n!}}{{d!e!c!}}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}\sum\limits_{\begin{array}{*{20}c} {0 \le c,d,e} \\ {d + e + c = n - 2} \\ \end{array}} {\frac{{\left( {n - 2} \right)!}}{{d!e!c!}}} = \cdots \\ \end{array}$$

mismo esquema con el otro.