¿Cómo puedo encontrar el volumen máximo de una caja cuando se recortan las esquinas?

Question

La pregunta dice : Se debe construir una caja (sin tapa) con un trozo de cartón de lados $A$ y $B$ cortando cuadrados de longitud $h$ desde las esquinas y doblando los lados como en la figura siguiente:

Supongamos que la altura de la caja es $h = 3 in.$ y que se construye utilizando $134 in.^2$ de cartón (es decir, $AB = 134$ ). Qué valores $A$ y $B$ maximizar el volumen?

¿Cómo se aborda esta cuestión cuando se recortan las esquinas? Entiendo que tengo que etiquetar las cosas importantes con variables y encontrar una fórmula adecuada, sin embargo, ¿qué hago cuando se trata de las esquinas?

Answer 1

¿Cómo se aborda esta cuestión cuando se recortan las esquinas? Entiendo que tengo que etiquetar las cosas importantes con variables y encontrar una fórmula adecuada, sin embargo, ¿qué hago cuando se trata de las esquinas?

Al quitar las cuatro esquinas del cartón, se obtiene exactamente la caja desplegada. La base de la caja es el rectángulo definido por los cuatro vértices interiores. El resto del cartón son los lados frontal, trasero, izquierdo y derecho doblados. Si se doblan los lados, la caja es el paralelepípedo abierto que se dibuja a la derecha.

Dado que la longitud de los cuatro cuadrados es $h=3\,\text{in}$ la base de la caja es un rectángulo cuya longitud es $A-2h=A-6\,\text{in}$ y la anchura es $B-2h=B-6\,\text{in}$ . Por lo tanto, la base tiene un área $A_{\text{base}}=(A-6)(B-6)$ $\text{in}^2$ .

Desde $AB = 134$ $\text{in}^2$ concluimos que $B=134/A$ $\text{in}$ y

$$A_{\text{base}}=\left(A-6\right)\left(\frac{134}{A}-6\right)=170-6A-\frac{804}{A}\text{ in}^2.$$

La altura de la caja plegada es $h$ (ver esquema); por tanto, su volumen es $V(A)=A_{\text{base}}\times 3\text{ in}^3$ . Entonces

$$V(A)=3\left(170-6A-\frac{804}{A}\right)\text{in}^3.$$

Qué valores $A$ y $B$ maximizar el volumen?

Sólo tenemos que encontrar $V'(A)=\frac{dV}{dA}$ y resolver para $A$ la ecuación $V'(A)=0$ .

Answer 2

Editar: $x=2h$ insinuación:

$S=(A-x)(B-x)=A*B-(A+B)*x+x^2,2V=S*x$

$A*B,x$ son fijos, $V_{max} \implies S_{max} \implies (A+B)_{min}$

ahora el problema es cuando $AB$ es fijo, lo que es min de $A+B$ ¿se puede ir desde aquí?

editar:

si la pregunta es $A*B$ es fijo, $x$ se desconoce, se quiere $V$ obtener el máximo, entonces el problema es :

$f(x)=x^3-(A+B)x^2+A*B*x \le x^3-x^2*2\sqrt{A*B}+A*B*x=g(x) $

dejar $\sqrt{A*B}=t \to g(x)=x^3-2tx^2+t^2x ,x\le t$

necesitas encontrar $g_{max}$

¿Es la verdadera pregunta?

puede discutir $f(x)$ y mantener $A+B$ y supongamos $A\ge t \ge B \ge x$

Answer 3

Tienes 2 lados de la base con longitudes $A-2h$ , $B-2h$ y la altura de la longitud $h$ .

Así que $V=(A-2h)(B-2h)h \to sup$ en $AB=134$