L $~X,Y∼U_{[0,1]}~$ independientemente. Encuentre $P(\max(X,Y)≥0.8∣\ \min(X,Y)=0.5)$

Question

Sea $X,YU_{[0,1]}$ independientemente. Encuentre $$P(\max(X,Y)0.8\ \min(X,Y)=0.5)~.$$

Answer 1

He trazado aquí, zona donde se verifican las dos desigualdades que mencionas en tu pregunta. Debería darte un buen punto de partida para una respuesta.

• Las líneas azules proceden de: $\min(X,Y) = 0.5 \Leftrightarrow (X = 0.5 \text{ and } Y > 0.5) \text{ or } (Y = 0.5 \text{ and } X > 0.5)$
• las segundas líneas proceden de $\max(X,Y) \ge 0.8 \Leftrightarrow X \ge 0.8 \text{ or } Y \ge 0.8$

Answer 2

L $Z=\min\{X,Y\}$ y $W=\max\{X,Y\}$ . Para $0\leq z\leq w\leq1$ tenemos $$P(W\leq w)=w^2,$$ y $$P(Z>z,W\leq w)=P(X>z,Y>z,X\leq w,Y\leq w)=(w-z)^2,$$ así que $$P(Z\leq z,W\leq w)=P(W\leq w)-P(Z>z,W\leq w)=w^2-(w-z)^2.$$ Diferencie para obtener la función de densidad $f_{Z,W}(z,w)=2$ , $0\leq z\leq w\leq1$ .

Utilice un método similar para obtener la función de densidad $f_{Z}(z)$ de $Z$ que es $f_{Z}(z)=2(1-z)$ . Así que $$f_{W|Z}(w|z)=\frac{1}{1-z},\ \ \ 0\leq z\leq w\leq1.$$ Por lo tanto $$P(W>0.8|Z=0.5)=\int_{0.8}^1f_{W|Z}(w|0.5)\,dw=\int_{0.8}^12\,dw=\frac{2}{5}.$$

Answer 3

La solución de la cabeza hueca diligente:

L $U=\min(X,Y)$ y $V=\max(X,Y)$ La probabilidad en cuestión puede calcularse de la siguiente manera

$$P(V≥0.8∣\ U=0.5)=\int_{0.8}^1 f_{V\mid U=0.5}(v)\ dv=\int_{0.8}^1\frac{f_{U,V}(0.5,v)}{f_U(0.5)}dv.$$

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Primero calculamos la fdc común de $U$ y $V$ :

$$F_{U,V}(u,v)=P(U<u\cap V<v)=$$ $$P(\min(X,Y)<u\cap \max(X,Y)<v)=$$ $$=P([X<u\cup Y<u]\cap [X<v\cap Y<v])$$

suponiendo que $0\leq u,v \leq 1$ .

Ahora

$$ [X<u\cup Y<u]\cap [X<v\cap Y<v])=$$ $$=[X<u\cap X<v\cap Y<v]\cup[Y<u\cap X<v\cap Y<v].$$

Eso es,

$$P([X<u\cup Y<u]\cap [X<v\cap Y<v])=$$ $$P([X<u\cap X<v\cap Y<v]\cup[Y<u\cap X<v\cap Y<v])=$$ $$=P(X<u\cap X<v\cap Y<v)+P(Y<u\cap X<v\cap Y<v)-P(X<u\cap X<v\cap Y<u\cap Y<v)=$$ $$=P(X<\min(u,v))P(Y<v)+P(Y<\min(u,v))P(X<v)-P(X<\min(u,v))P(Y<\min(u,v))=$$ $$=\begin{cases} 2uv-u^2&\text{ if }&u\leq v\\ 0&\text{ if }&u> v \end{cases}$$ suponiendo que $u,v\in [0,1]$ .

Esta es la CDF común.

El pdf común es $2$ dentro del medio triángulo inferior del cuadrado unitario y $0$ de lo contrario. Podemos obtenerlo tomando la derivada parcial de la fdc con respecto a $u$ y luego con respecto a $v$ o viceversa.

Eso es,

$$f_{\min(X,Y),\max(X,Y)}(u,v)=2$$

si $u,v$ son positivos, menos que $1$ y $u\leq v$ .

En segundo lugar, calculemos la fdc de $U=\min(X,Y)$ :

$$P(\min(X,Y)<u)=P(X<u\cup Y<u)=$$ $$=P(X<u)+P(Y<u)-P(X<u\cap Y<u)=$$

$$=2u-u^2$$

entre $0$ y $1$ cero abajo $0$ y $1$ sobre $1$ . El pdf es la derivada del mismo. Es decir,

$$f_{\min(X,Y)}(u)=2-2u$$

Entonces

$$f_{\min(X,Y),\max(X,Y)\mid \min(X,Y)}(u,v)=\frac{f_{\min(X,Y),\max(X,Y)}(u,v)}{f_{\min(X,Y)}(u)}=$$ $$=\frac1{1-u}$$ si $(u,v)\in$ el triángulo descrito anteriormente. En $u=0.5$ si $0\leq v\leq 1$ :

$$ f_{\min(X,Y),\max(X,Y)\mid \min(X,Y)}(u,v)=2.$$

Por último $$P(\max(X,Y)≥0.8∣\ \min(X,Y)=0.5)=\int_{0.8}^1f_{\min(X,Y),\max(X,Y)\mid \min(X,Y)=0.5}(0.5,v)dv=$$ $$=\int_{0.8}^1 2 dv=2×0.2=0.4.$$

Answer 4

Aplicación de la Ley de Probabilidad Total sobre la partición de qué variable es el mínimo y, a continuación, aplicar el independencia de las variables aleatorias, nos da la evaluación:

$$\begin{align}\mathsf P(\max\{X,Y\}\geq 0.8\mid\min\{X,Y\}=0.5)&={{\mathsf P(X\geq 0.8, X\geq 0.5\mid Y=0.5)}+{\mathsf P(Y\geq 0.8, Y>0.5\mid X=0.5)}}\\[1ex]&={{\mathsf P(X\geq 0.8\mid Y=0.5)}+{\mathsf P(Y\geq 0.8\mid X=0.5)}}\\[1ex]&=\mathsf P(X\geq 0.8)+\mathsf P(Y\geq 0.8)\\[1ex]&=0.2+0.2\\[1ex]&=0.4\end{align}$$