Esta pregunta se refiere a una cuestión no resuelta por Chad La excelente pregunta y El excelente libro de John Stillwell respuesta de ello. Puesto que encuentro la posibilidad de una respuesta afirmativa tan tentadora, me gustaría profundizar en ella aquí.
Por antecedentes, Teorema de Rice afirma esencialmente que ninguna pregunta no trivial sobre conjuntos computablemente enumerables es decidible. Si W e es el conjunto enumerado por el programa e, entonces el teorema afirma:
Teorema de Rice. Si A es una colección de computables enumerables y { e | W e ∈ A } es decidible, entonces o bien A es vacío o A contiene todos los conjuntos computables enumerables.
En resumen, se puede decidir esencialmente nada sobre un programa e, si la respuesta es depende sólo de lo que el programa calcula y no de cómo lo lo calcula.
La cuestión que se plantea aquí es hasta qué punto un fenómeno es válido para grupos finitamente presentados, utilizando la analogía entre programas y presentaciones de grupos finitos:
- un programa e es como una presentación de grupo finito p
- el conjunto W e enumerado por e es como el grupo ⟨p⟩ presentado por p.
Según esta analogía, el análogo del teorema de Rice afirmaría que cualquier colección decidible de finitamente (cerrado por isomorfismo) debería ser trivial o todo. John Stillwell señaló en respuesta a la pregunta de Chad Groft que esto no es cierto, porque a partir de una presentación p podemos encontrar fácilmente una presentación de la abelianización de ⟨p⟩, insistiendo en que todos los generadores conmutan, y muchas cuestiones no triviales son decidibles sobre finitely finitamente presentados. De hecho, puesto que la teoría de grupos abelianos es una teoría decidible, habrá muchas preguntas interesantes sobre grupos abelianos finitamente presentados que son decidibles a partir de sus presentaciones.
Mi pregunta es si éste es el único obstáculo.
Pregunta. ¿Se cumple el teorema de Rice para finitos módulos de abelianización?
En otras palabras, si A es un conjunto de grupos finitamente presentados (cerrados bajo isomorfismo) y el correspondiente conjunto de presentaciones { p | ⟨p⟩ ∈ A } es decidible, entonces A se reduce completamente a una pregunta sobre las abelianizaciones de los grupos, en el sentido de que existe un conjunto B de grupos abelianos tal que G ∈ A iff Ab(G) ∈ B?
Por supuesto, en este caso B consiste exactamente en los grupos abelianos en A. La pregunta es equivalentemente preguntar si A respeta la equivalencia de los grupos que tienen abelianizations isomórficos. En otras palabras, ¿debe ser que G ∈ A si Ab(G) ∈ A? La pregunta es si todo conjunto decidible de grupos finitamente presentados equivale realmente a un conjunto decidible de grupos abelianos, extendido a todos grupos finitamente presentados simplemente saturando con respecto a la abelianización.
En particular, el conjunto A no debe contener ninguno o todos los grupos perfectos.
Una respuesta afirmativa parecería proporcionar una completa explicación del omnipresente fenómeno de indecidibilidad en en las presentaciones de grupo. Pero quizá sea demasiado esperar...
En cualquier caso, supongo que hay una relación de equivalencia en las presentaciones de grupos finitos, diciendo que p ≡ q por si acaso ⟨p⟩ y ⟨q⟩ tienen la misma respuesta con respecto a cualquier pregunta decidible sobre grupos finitamente presentados. La pregunta anterior plantea si esta relación de equivalencia es simplemente Ab(⟨p⟩) = Ab(⟨q⟩). Si esto resulta no ser cierto, entonces ¿qué se puede decir de ≡?
