En cuanto a (1), desde el punto de vista de las representaciones de Galois, la cuestión es que las representaciones continuas de grupos de Weil sobre un espacio vectorial complejo, por su naturaleza, tienen imagen finita sobre la inercia.
Por otra parte, mientras que un $\ell$ -ádica de Galois de $G_{\mathbb Q_p}$ (con $\ell \neq p$ por supuesto) debe tener imagen finita en la inercia salvaje, puede tener imagen infinita en la inercia domesticada. El formalismo de las representaciones de Weil--Deligne extrae esta posible imagen infinita, y la codifica como un operador nilpotente (algo que es algebraico, y no se refiere a la $\ell$ -topología adica, y por lo tanto tiene la oportunidad de ser independiente de $\ell$ ).
En cuanto a (2): Las representaciones del grupo de Weil son esencialmente lo mismo que las representaciones de $G_{\mathbb Q}$ que, cuando se restringen a algún subgrupo abierto, se convierten en abelianos. Así, (como ejemplo) si $E$ es una curva elíptica sobre $\mathbb Q$ que no es CM, su $\ell$ -no puede explicarse mediante una representación del grupo de Weil (o cualquier modificación simple del mismo). Tampoco la forma modular de peso 2 a la que corresponde.
En resumen: la diferencia entre la situación global y la local es que un $\ell$ -radicación de $G_{\mathbb Q_p}$ (o de $G_E$ para cualquier $p$ -adic campo local) se convierte, tras un cambio de base finito para eliminar la acción de la inercia salvaje, una representación dócilmente ramificada, que puede describirse mediante dos matrices, la imagen de una elevación de Frobenius y la imagen de un generador de inercia dócil, que satisfacen una sencilla relación de conmutación.
Por otra parte, las representaciones globales de Galois derivadas de $\ell$ -de variedades sobre campos numéricos son mucho más profundamente no abelianas.
Añadido: Permítanme abordar también la pregunta sobre un producto de $W_{F_v}'$ . Una vez más, lo más sencillo es pensar en términos de representaciones de Galois (que corresponden aproximadamente a motivos, que, se espera, corresponden aproximadamente a formas automórficas).
Así que se puede reinterpretar la pregunta como: ¿dar una representación de $G_F$ (para un campo numérico $F$ ) lo mismo que dar representaciones de cada $G_{F_v}$ (como $v$ abarca los lugares de $F$ ). Ciertamente, según Cebotarev, la restricción de la representación global a los grupos de Galois locales lo determinará; pero lo hará sobredeterminar por lo que, dada una colección de representaciones locales, es poco probable que se combinen en una global. ( $G_F$ está muy lejos de ser el producto libre del $G_{F_v}$ como muestra Cebotarev).
Para decir algo sobre el lado automórfico, imagina escribir un producto de Euler de grado 2 al azar. Puedes emparejar esto con un $q$ -que será una eigenforma de Hecke, mediante transformadas de Mellin, y con una representación de $GL_2(\mathbb A_F)$ escribiendo el correspondiente producto tensorial de las representaciones no ramificadas de las distintas $G_{F_v}$ . Pero, ¿qué posibilidades hay de que este objeto sea una representación automórfica? ¿Qué posibilidad hay de que tu eigenforma formal de Hecke aleatoria sea en realidad una forma modular? ¿Qué probabilidad hay de que tu producto de Euler aleatorio sea en realidad una representación automórfica? $L$ -¿Función? Básicamente, ninguna.
Ha omitido un pegamento global vital, el mismo pegamento que describe las interrelaciones de todas las $G_{F_v}$ en $G_F$ . Descubrir la naturaleza de este pegamento es la clave para demostrar la relación que se conjetura entre las formas automórficas y los motivos; su naturaleza misteriosa es lo que hace que las teorías de las formas automórficas y de las representaciones de Galois sean tan desafiantes.
