Gráficas de funciones derivadas sin

Question

Intento encontrar los intervalos en los que f es creciente o decreciente, los mínimos y máximos locales y los puntos de concavidad e inflexión para $f(x)=\sin x+\cos x$ en el intervalo $[0,\pi]$ .

Sé que en $\pi/4$ la derivada será igual a cero. Así que eso me da mis números críticos, positivo y negativo $\pi/4$ así que ahora tengo que encontrar los intervalos que no tiene ningún sentido para mí, pensé que sólo podría cambiar en los números críticos, pero $\pi$ y $2\pi$ son valores diferentes. Obtengo un positivo para $2\pi$ y una negativa para $\pi$ . ¿Cómo puede ocurrir esto si el único número crítico es $\pi/4$ ?

Answer 1

$f(x)=\sin(x)+\cos(x)$

$f'(x)=\cos(x)-\sin(x)$

los puntos críticos son cuando $f'(x)=0$ :

es decir, en:

$\cos(x)=\sin(x)$ que puede ser satisfecha por los valores de x como:

..., $-7{\pi}/4$ , $-3{\pi}/4$ , ${\pi}/4$ , $3{\pi}/4$ ,...

ahora, necesitas examinar el signo de la segunda derivada en los puntos anteriores:

$f''(x)=-\sin(x)-\cos(x)$

en $-7{\pi}/4$ , $f''(x)$ es (-) --> Local Max.

en $-3{\pi}/4$ , $f''(x)$ es (+) --> Local Min.

en ${\pi}/4$ , $f''(x)$ es (-) --> Local Max.

en $3{\pi}/4$ , $f''(x)$ es (+) --> Local Min.

El enlace ( ejemplo ) puede ayudar.

también, Estas parcelas pueden ayudar:

Answer 2

Resumiendo, $\pi / 4$ no es el único valor crítico. En general, sabemos que $\sin$ y $\cos$ son periódicos, por lo que esperamos infinitos valores críticos. También sabemos que si $\sin a = 0$ entonces $\sin (a + \pi) = 0$ .

Así que cuando se toma la derivada, se obtiene $f'(x) = \cos x - \sin x$ . Buscas puntos críticos - así que compruebas cuando $\sin x = \cos x$ y obtienes cuando ambos son positivos (lo que obtuviste), y cuando ambos son negativos (lo que no obtuviste).

Tenga en cuenta que $- \pi / 4$ es no una solución.