Integral de energía potencial electrostática

Question

Estoy intentando calcular la energía total de un sistema simple de dos cargas a través de la integral para la energía electrostática de un sistema dada en el libro de Griffiths:

$$U = \frac{\epsilon_0}{2}\int_V E^2 dV .$$

Donde el volumen se integra a través de todo el espacio por lo que el término límite no mostrado aquí decae a cero. Creo que esto debería dar la misma respuesta que la fórmula estándar dada para cargas puntuales:

$$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{R}.$$

Pero tengo problemas para evaluar la integral en sí. He colocado $Q_1$ en el origen de los ejes de coordenadas y $Q_2$ en el $z$ -eje a distancia $R$ lejos de la primera carga, y amplió la $E^2$ plazo:

$$E = E_1 + E_2 $$ así que $$E^2 = E_1^2 + 2E_1 \centerdot E_2 + E_2^2.$$

Descubrí que la integral de los términos propios diverge cuando se evalúa y, tras leer a Griffiths, decidí descartar los términos propios y conservar sólo la energía debida al término de intercambio.

Dejar $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ y $r'= \sqrt{x^2+y^2+(z-R)^2}$ encontré que la integral del término de interacción era..:

$$E_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_1}{r^3}\vec{r}\quad\text{and}\quad E_2 \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_2}{r'^3}\vec{r'}$$

$$U = \epsilon_0\int_V E_1\centerdot E_2 \space dV = \frac{Q_1 Q_2}{16\pi^2\varepsilon_0}\int_V \frac{x^2 + y^2 + z^2-zR}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} \space (x^2+y^2+(z-R)^2)^{\frac{3}{2}}}\space dV.$$

Conversión a coordenadas esféricas, con $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ , $\theta $ el ángulo desde el eje z y $\varphi$ el ángulo azimutal, donde he evaluado la integral azimutal:

$$U = \frac{Q_1 Q_2}{8\pi\varepsilon_0}\int_0^\infty \int_0^{2\pi} \frac{r - R\cos(\theta)}{(r^2-2Rr\cos(\theta)+R^2)^{\frac{3}{2}}}\sin(\theta) \space d\theta \space dr.$$

Me he topado con un obstáculo al intentar evaluar la integral: normalmente utilizaría una sustitución en el caso de una integral simple, pero no sé cómo hacerlo en el caso de una integral doble cuando las variables están mezcladas. ¿Voy por buen camino?

No estoy seguro de que esta integral converja, dado que las otras dos divergen, ¿esta fórmula se aplica a cargas puntuales o sólo a distribuciones continuas de carga?

Answer 1

De los comentarios de la sección 2.4.4 de Griffith sobre la energía electrostática, puedes obtener tu respuesta. Si consideras cargas puntuales, entonces en realidad, esta integral está relacionada con la autoenergía que es infinita normalmente, para hacer finito a menudo introducimos radio de corte $\delta$ . (En física de partículas, a menudo usamos terminología desnormalizada y renormalizada, la renormalización es un proceso que convierte lo infinito en finito). La integral relevante está bien descrita en Griner's Electrodynamics y Jackson's ch1. Estos dos libros de texto contienen tanto el cálculo como su interpretación física.

Answer 2

La fórmula de Poynting para la energía electrostática en volumen $V$

$$ E = \int_V \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 dV $$

puede deducirse de la ley de Coulomb sólo para los casos en que el campo que actúa sobre las partículas está definido en todas partes. Sin embargo, una partícula puntual tiene una densidad de carga infinita en el punto en el que se encuentra y el campo no está definido en ese punto. Así que la derivación falla.

Para dos partículas puntuales en reposo, el trabajo necesario para llevar estas partículas a sus posiciones $\mathbf r_1,\mathbf r_2$ se sabe que

$$ W = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{|\mathbf r_1- \mathbf r_2|} $$ Si se quiere expresar esta energía sólo en términos de campos EM, se puede escribir como

$$ \int_{whole~space} \epsilon_0\mathbf E_1(\mathbf x) \cdot \mathbf E_2(\mathbf x) \,d^3\mathbf x $$ donde $\mathbf E_1(\mathbf x) = -\nabla \phi_1(\mathbf x)$ es el campo debido a la primera partícula y $\mathbf E_2(\mathbf x)=-\nabla \phi_2$ es el campo debido a la segunda partícula.

Prueba:

El potencial $\phi_1$ es $$ \mathbf \phi_1(\mathbf x) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1}{|\mathbf x - \mathbf r_1|} $$ y el potencial $\phi_2(\mathbf x)$ es $$ \mathbf \phi_2(\mathbf x) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_2}{|\mathbf x - \mathbf r_2|}. $$ La integral pasa a ser $$ \int_{whole~space} \epsilon_0\mathbf E_1(\mathbf x) \cdot \mathbf E_2(\mathbf x) \,d^3\mathbf x = \int_{whole~space} \epsilon_0\nabla\phi_1(\mathbf x) \cdot \nabla \phi_2(\mathbf x) \,d^3\mathbf x = $$ $$ = \int_{whole~space} \epsilon_0\nabla\cdot( \phi_1 \nabla \mathbf \phi_2 )\,d^3\mathbf x -\int_{whole~space} \epsilon_0\phi_1 \Delta \phi_2\,d^3\mathbf x. $$ Para el campo electrostático, la primera integral es cero (esto se puede demostrar utilizando el teorema de Gauss). Para el segundo potencial, la ecuación de Poisson

$$ \Delta \phi_2 = -\frac{q_2}{\epsilon_0}\delta(\mathbf x - \mathbf r_2) $$ por lo que llegamos a la integral

$$ \int_{whole~space} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1}{|\mathbf x - \mathbf r_1|}\frac{q_2}{\epsilon_0}\delta(\mathbf x - \mathbf r_2)\,d^3\mathbf x $$ que tiene el valor

$$ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{|\mathbf r_2 - \mathbf r_1|}, $$

que es lo mismo que $W$ arriba.

Esta fórmula para la energía EM tiene una versión general para campos dependientes del tiempo

$$ E_{em} = \int \epsilon_0\mathbf E_1\cdot\mathbf E_2 + \frac{1}{\mu_0}\mathbf B_1\cdot \mathbf B_2\,d^3\mathbf x $$

En caso de que intervengan más partículas, se pueden derivar fórmulas similares, con la suma sobre cada par de partículas.

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