Ecuación de recurrencia similar a la de una progresión geométrica

Question

Tengo la siguiente relación de recurrencia: $$T(i) = \sqrt{T(i-1) \left(T(i+1) + k\right)},$$ con $k \geq 0$, una constante fija.

Sé que cuando $k=0$, tenemos: $$T(i) = \sqrt{T(i-1) T(i+1)},$$ la solución es $T(i) = e^{ai+b}$ (progresión geométrica), pero no sé si hay una solución para el caso general.

• Si no hay ninguna forma cerrada de solución a la misma, como parece ser el caso, hay una manera fácil de calcular $T(i),\;1 < i < n$$T(1) = A$$T(n) = B$ ?

• De manera más general, hay sistemática, de forma elegante (numéricamente) calcular las recurrencias cuando las condiciones iniciales no son "contiguo" ?

Answer 1

Recordar que $T(i)=\sqrt{T(i-1)T(i+1)}$ puede encontrar su solución general es sólo una suerte:

$T(i)=\sqrt{T(i-1)T(i+1)}$

$(T(i))^2=T(i-1)T(i+1)$

Deje $T(i)=e^{U(i)}$ ,

Entonces $T(i-1)=e^{U(i-1)}$ , $T(i+1)=e^{U(i+1)}$

$\therefore(e^{U(i)})^2=e^{U(i-1)}e^{U(i+1)}$

$e^{2U(i)}=e^{U(i-1)+U(i+1)}$

$2U(i)=U(i-1)+U(i+1)$

$U(i+1)-2U(i)+U(i-1)=0$

$U(i)=\Theta_1(i)i+\Theta_2(i)$ donde $\Theta_1(i)$ $\Theta_2(i)$ son arbitrarias funciones periódicas con periodo de

$\therefore T(i)=e^{\Theta_1(i)i+\Theta_2(i)}$ donde $\Theta_1(i)$ $\Theta_2(i)$ son arbitrarias funciones periódicas con periodo de

Esto no significa que $T(i)=\sqrt{T(i-1)\left(T(i+1)+k\right)}$ es tan afortunado como $T(i)=\sqrt{T(i-1)T(i+1)}$ .