Qué es una base ortonormal relativa al producto punto

Question

Qué es una base ortonormal respecto al producto punto. Sé que una base ortonormal es una base cuyos vectores son ortogonales entre sí y que son vectores unitarios, pero no estoy seguro de lo que significa que la base es relativa al producto punto.

Answer 1

No es la base la que es relativa al producto punto sino su ortonormalidad. El concepto de base existe en los espacios vectoriales generales. Sin embargo, en los espacios vectoriales generales no existe el concepto de ortogonalidad ni el de norma. Ambos conceptos pueden definirse mediante un producto punto, a saber $\vec a$ y $\vec b$ son ortogonales si $\vec a\cdot\vec b=0$ y la norma de $\vec a$ es $|\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot\vec a}$ . Se dice que estos conceptos de ortogonalidad y norma son inducido por el producto punto. Una base ortonormal relativa a un producto punto es una base cuyos vectores están normalizados con respecto a la norma inducida por el producto punto y son ortogonales por pares con respecto al concepto de ortogonalidad inducido por el producto punto.

Por ejemplo, en $\mathbb R^n$ los conceptos habituales de ortogonalidad y norma son los inducidos por el producto punto habitual, $\vec a\cdot\vec b=\sum_ia_ib_i$ . Si se introduce un producto punto diferente, por ejemplo $\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+2a_2b_2$ en $\mathbb R^2$ Esto induce diferentes conceptos de ortogonalidad y norma, y diferentes bases serán ortogonormales que bajo las definiciones canónicas.