En $arg \left(\dfrac {z-1}{z+1}\right)=\dfrac{\pi}{3}$ representar un círculo o un arco de círculo?

Question

En $arg \left(\dfrac {z-1}{z+1}\right)=\dfrac{\pi}{3}$ representar un círculo o un arco de círculo?

Sustituyendo $x+iy=z$ Obtengo la ecuación de un círculo. Pero creo que debería ser un arco particular del círculo (el lugar geométrico) dependiendo de la dirección de rotación de $(z-1)$ a $(z+1)$ por el método de Coni.

¿Puede alguien aclarar esta cuestión? Gracias.

Answer 1

$z=x+iy\implies\dfrac{z-1}{z+1}=\dfrac{(x-1+iy)(x+1-iy)}{(x+1)^2+y^2}=\dfrac{x^2+y^2-1+i(2y)}{(x+1)^2+y^2}$

Utilizando t arg $\dfrac{2y}{x^2+y^2-1}=\dfrac\pi3$ si $x^2+y^2-1>0$

En ese caso, $x^2+y^2-1=2\sqrt3y\iff x^2+(y-\sqrt3)^2=2^2$

WLOG cualquier punto de $x^2+(y-\sqrt3)^2=2^2$ puede representarse como $2\cos t,\sqrt3+2\sin t$

Ahora $x^2+y^2-1=\cdots=6+4\sqrt3\sin t$ que será $>0\iff\sin t>-\dfrac{\sqrt3}2$

Por lo tanto, no es el círculo completo, pero un arco está representado por arg $\dfrac{z-1}{z+1}=\dfrac\pi3$

Answer 2

Obsérvese que (tomando el valor principal del argumento)

$$\arctan\frac{2y}{x^2+y^2-1}=\frac\pi3\iff\frac{2y}{x^2+y^2-1}=\tan\frac\pi3=\sqrt3\iff$$

$$\iff x^2+y^2-\frac2{\sqrt3}y-1=0\iff x^2+\left(y-\frac1{\sqrt3}\right)^2=\frac43\;\;(**)$$

Que es un círculo de radio $\;\frac2{\sqrt3}\;$ y centro $\;\left(0,\,\frac1{\sqrt3}\right)\;$

Sin embargo, la primera igualdad significa que tanto el denominador como el numerador del lado izquierdo tienen el mismo signo. y por lo tanto

$$\begin{cases}y>0\;\text{and}\;x^2+y^2>1\,,\;\;\text{or}\\{}\\y<0\;\text{and}\;x^2+y^2<1\end{cases}$$

y por tanto las opciones son, en ambos casos, un arco de círculo $\;(**)\;$ ...aunque los casos no son simétricos.