¿Cuál es la intuición geométrica/física que subyace a esta identidad? (posiblemente en relación con las intuiciones que se suelen dar para el rizo, la divergencia y el producto cruzado). $$\nabla\cdot\left ( \vec{A}\times\vec{B} \right )=\vec{B}\cdot\left ( \nabla \times\vec{A} \right )-\vec{A}\cdot\left ( \nabla \times\vec{B} \right )$$
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erbsman
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Después de darle vueltas a esta identidad durante un rato, esto es lo que se me ha ocurrido. Lo primero que hay que tener en cuenta es que $\nabla \cdot (\vec A\times \vec B )$ es la divergencia del campo vectorial del producto cruzado. La interpretación del campo vectorial del producto cruzado depende del dominio del problema, pero podemos abstraernos y pensar simplemente que $\vec A\times \vec B$ genera un nuevo campo vectorial $\vec C$ . Por lo tanto, $\nabla \cdot \vec C$ puede entenderse utilizando la intuición común para la divergencia, que es que mide la cantidad de "fluido" que se retira o se añade al campo (sumidero/fuente). Para obtener una explicación más detallada, puede consultar estos vídeos de ThreeBrownOneBlue .
Ahora, para hacernos una idea de lo que ocurre en la identidad, exploraremos un caso 3D muy sencillo en el que el campo vectorial $\vec B$ varía sólo en el $\hat k$ eje, y $\vec A$ es igual a 1 en el $\hat i$ eje. $$\vec A(x,y,z)= 1\hat i + 0 \hat j + 0\hat k$$ $$\vec B(x,y,z)= 0\hat i + (z+2) \hat j + 0\hat k$$
A continuación dibujamos un cubo de 1x1x1, y mostramos en un diagrama como actúan los campos vectoriales. $$\\$$ 
Tenga en cuenta que $\nabla \cdot \vec C$ es la diferencia entre el caudal que sale por la cara superior y el que entra por la cara inferior. A partir de aquí podemos empezar a entender cómo el rizo de $\vec B$ afecta a la divergencia de $\vec C$ . En $\nabla \times \vec B$ se considera comúnmente como la "rotación" del campo, pero, dicha rotación implica que el campo $\vec B$ está cambiando en la dirección perpendicular, que es exactamente donde $\vec A \times \vec B$ estará señalando. Por lo tanto, un rizo en $\vec B$ significa una aceleración en $\vec A \times \vec B$ y, por tanto, una variación de la divergencia.
En este ejemplo, podemos ver que la divergencia en el campo del producto cruzado puede calcularse de dos maneras. O bien evaluando el cambio que entra en una cara y sale de la otra. O bien calculando la variación que se produce en el interior del cubo. Estas dos formas de cálculo son la equivalencia mostrada en la identidad.
Por lo tanto, calculando la divergencia utilizando las superficies obtenemos
$$\nabla\cdot \vec C = +1\cdot A - 2 \cdot A = -1 \cdot A = -1$$
Dónde $A$ es el área del cubo de caras. Y usando el rizo, obtenemos;
$$\nabla\cdot \vec C = \vec B \cdot (\nabla \times \vec A) \cdot h - \vec A \cdot (\nabla \times \vec B) = 0 - 1\hat i \cdot (1\hat i) \cdot h = -1$$ Dónde $h$ es la altura del cubo.
Calculamos la variación en el cubo con 1x1x1, pero se podría haber hecho lo mismo para el cubo infinitesimalmente pequeño, lo que eliminaría $A$ y $h$ del cálculo.
Por último, el caso ilustrado es para campos muy sencillos, pero campos más complejos pueden pensarse de la misma manera, simplemente descomponiendo el efecto en cada dirección y aplicando la misma lógica. También espero que quede claro que la misma explicación muestra cómo el rizo de $\vec A$ aparece en la ecuación. Si $\vec A$ tenía el mismo rizo que $\vec B$ $$\vec A(x,y,z) = (z+2)\hat i + 0 \hat j + 0 \hat k$$
Entonces, el rizo de $\vec A$ también "aceleraría" el campo del producto cruzado en el $\hat k$ disminuyendo aún más la divergencia.
Espero que esto te dé alguna intuición sobre la identidad. Si algo no está claro házmelo saber y puedo intentar hacer más diagramas.
Tim Almond
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Debido a la bilinealidad y a algunas simetrías, esta afirmación es equivalente a un caso especial de la misma, en el que $A\parallel j$ y $B\parallel k$ de modo que $A\times B\parallel i$ y el lado izquierdo sólo recibe una contribución de $\partial_x$ . Así que el hecho de que todo en la pregunta original es un $3$ -(o $3$ -operador vectorial dimensional) es en realidad una distracción: que las funciones escalares $A(x,\,y,\,z),\,B(x,\,y,\,z)$ satisfacer $(AB)_x=BA_x+AB_x$ es todo lo que realmente se reclama.
Me doy cuenta de que estas observaciones suenan como si estuviera tratando de pruebe la identidad en lugar de darle una intuición, y si eso fuera todo lo que quisiera hacer, ya estaría básicamente en casa: Sólo querría demostrar una regla del producto para $\partial_x$ en la que la dependencia de $y,\,z$ es también una distracción. Pero, por supuesto, no estoy aquí para ensayar una prueba de la regla del producto. Estoy aquí para señalar que si queremos un intuición por todo esto, es importante señalar en primer lugar que, debido a que se deduce de la regla del producto y un par de propiedades del cálculo vectorial, la intuición que necesitamos se refiere o bien a cuál de esos hechos parece menos intuitivo, o bien a cómo colaboran. Sea cual sea la decisión que tomemos al respecto, queremos que esa intuición sea geométrica.
La intuición geométrica habitual para la regla del producto se encuentra en realidad en $2$ en lugar de $3$ , observando que ampliar infinitesimalmente un rectángulo le añade dos franjas. Yo diría que ése es el quid de la cuestión. En realidad, la bilinealidad y la simetría no son más que el hecho de que el cálculo multivariable trata las variables múltiples como un único punto que vaga por un espacio de dimensión adecuada. No es sólo que probemos la identidad con la regla del producto; es que en realidad no dice nada que no sean la regla del producto.
