Acerca de la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Question

Para los vectores $x$ y $y$ la desigualdad de Cauchy-Schwarz es $$ |x\cdot y|\leq||x||\cdot||y|| $$ ¿Esta desigualdad sólo es válida para la norma 2? ¿O para cualquier norma?

Gracias de antemano.

Answer 1

Con secuencias finitas $x_i$ y $y_i$ , $1\le i\le N$ (se supone positivo, o añadir valores absolutos al $x_i$ s y $y_i$ s) se tiene una desigualdad de Rogers-Hölder generalizada: para $u,v, w>0$ y $1/u+1/v\le 1/w$ :

$$\Big(\sum_1^N (x_i y_i)^w\Big)^\frac{1}{w} \le \Big(\sum_1^N (x_i )^u\Big)^\frac{1}{u} \Big(\sum_1^N (y_i )^v\Big)^\frac{1}{v} $$

Véase, por ejemplo, P. S. Bullen, Manual de medias y sus desigualdades , 2003, p. 188. Los llamé Rogers-Hölder a partir de L. Maligranda, " ¿Por qué la desigualdad de Hölder debería llamarse desigualdad de Rogers? " Matemáticas. Inequal. Appl., vol. 1, nº 1, pp. 69-83, 1998.

Usted recupera su caso con $w=1$ y la desigualdad en $u,v,w$ le ofrece diferentes opciones.

Answer 2

La desigualdad de Cauchy-Schwarz es un caso especial de la desigualdad de Hölder, que dice lo siguiente: $$\left \vert \vec{a} \cdot \vec{b} \right \vert \leq \left \Vert \vec{a} \right\Vert_p \left \Vert \vec{b} \right\Vert_q$$ donde $\dfrac1p + \dfrac1q = 1$ y $\Vert \cdot \Vert_s$ es el $s$ -norma del vector.