Se puede pensar en el espacio de bases covolumétricas positivamente orientadas de $\mathbb{R}^2$ como torsor bajo $SL_2(\mathbb{R})$ es decir, es una variedad con una acción simplemente transitiva del grupo. Si se elige un punto base preferido, como por ejemplo $(\mathbf{i},\mathbf{j})$ se consigue una identificación con el grupo. Se puede pensar en los elementos de la cubierta universal como bases de área-uno positivamente orientadas equipadas con una clase homotópica de trayectorias en $\mathbb{R}^2 - \{0\}$ de $\mathbf{i}$ al primer elemento de la base. Existe una ley de composición razonablemente sencilla que consiste en multiplicar matrices y componer caminos.
La descripción de Gannon de levantar a $SL_2(\mathbb{R})$ implica los ascensos de formas modulares de peso par a $\widetilde{SL_2(\mathbb{R})}$ son invariantes bajo la acción de $B_3$ . En particular, las formas modulares clásicas son bastante aburridas desde la perspectiva del grupo de trenzas. Para detectar la extensión central, hay que considerar formas modulares de peso fraccionario. Cuando el peso no es un número entero, no se obtiene una acción de $SO(2)$ sino una acción de la cubierta universal $\mathbb{R}$ . La acción resultante de $B_3$ es necesariamente no trivial, ya que la restricción al centro es por un carácter no trivial de $\mathbb{Z}$ . No conozco muchas construcciones explícitas de formas de peso fraccionario, aparte de las formas de peso medio entero como $\eta$ y las funciones theta, y las formas vectoriales construidas a partir de ellas. Sin embargo, se puede generar una familia de ejemplos eligiendo potencias de la forma cúspide $\Delta$ que admite un logaritmo ya que es globalmente regular y no evanescente.
Mi interpretación de la relación explícita con las configuraciones de puntos y curvas elípticas es la siguiente: Dado un camino de triples de puntos distintos $(a_1(t),a_2(t),a_3(t))$ obtenemos un camino en el espacio de curvas elípticas de la forma $y^2 = (x-a_1(t))(x-a_2(t))(x-a_3(t))$ pero esto arrojará una acción de traslaciones y dilataciones reales (irrelevante) junto con la extensión central y la acción del círculo (importante). Si sólo nos fijamos en los tipos de isomorfismo (es decir. $j$ -invariantes) de las curvas, obtenemos una trayectoria a través del cociente del semiplano superior por $SL_2(\mathbb{Z})$ . Tenemos que elegir una estructura discreta para eliminar el cociente por el centro, y una estructura continua unidimensional para promover nuestro espacio a tres dimensiones. Para conservar la información angular que perdimos al pasar al isomorfismo de curva elíptica, fijamos una dirección tangente en el infinito para eliminar la simetría rotacional. Esta dirección tangente se manifiesta cuando elegimos nuestra estructura discreta: una clase homotópica de trayectorias no intersecantes desde los tres puntos hasta el infinito, porque exigimos que las trayectorias se aproximen asintóticamente al infinito en esa dirección. La curva elíptica es una doble cobertura de la recta proyectiva compleja, ramificada en los tres puntos y en el infinito. Podemos elegir de una vez por todas una convención uniforme para elevar las tres trayectorias a ciclos homológicos primitivos, de forma que cualquier par genere $H_1$ y un ciclo es la suma de los otros dos, por lo que esos dos forman una base preferente. Para obtener la parametrización de $\widetilde{SL_2(\mathbb{R})}$ del primer párrafo, elegimos una configuración base preferida de tres puntos con trayectorias desde el infinito y dirección asintótica, y consideramos un triple $(a_1(t),a_2(t),a_3(t))$ que comienza en el punto base. Por unicidad del levantamiento de homotopía, obtenemos una familia de vectores tangentes en el infinito junto con una familia de curvas elípticas con bases orientadas de homología. Reescalando las bases en $\mathbb{R}^2$ para tener covolumen unitario, obtenemos la parametrización del primer párrafo.
