Cómo resolver la ecuación matricial $AX+XB=C$ para $X$

Question

¿Cómo se resuelve la ecuación matricial $AX+XB=C$ para $X$ ? No parece muy difícil. Lo intenté muchas veces pero fallé.

Soy un estudiante adulto... Ahora estoy molesto por Gilbert Strang - Una introducción al álgebra lineal. No entiendo ni una sola palabra de Wikipedia: Ecuación de Sylvester . Si alguna vez has usado algún material agradable o notas de conferencias Puedes subir y compartir generosamente los enlaces de las notas de la conferencia y los trabajos. Diferentes temas son bienvenidos, siempre y cuando los consideres agradables y factibles.

El problema se origina en un sistema de ecuación difusa, que utiliza coeficientes indeterminados (matriz) para encontrar la solución particular. Pruebe $y_p=X \begin {pmatrix} e^{ \alpha t} \\ e^{ \beta t} \end {pmatrix}$

$ \dot {y}+Ay=C \begin {pmatrix} e^{ \alpha t} \\ e^{ \beta t} \end {pmatrix}$

$ \dot {y_p}=X \begin {pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end {pmatrix} \begin {pmatrix}e^{ \alpha t} \\ e^{ \beta t} \end {pmatrix}$

sustituto $ \dot {y_p}$ y $y_p$ en la ecuación diferencial original

$X \begin {pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end {pmatrix}+AX=C$

Answer 1

La ecuación de la matriz que motivó este post, $$X\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}+AX=C,$$ en realidad tiene una solución muy fácil.

Dejemos que $X$ y $C$ tienen columnas $X_1,X_2$ y $C_1,C_2$ respectivamente. Entonces $$X_1=(A+\alpha I)^{-1}C_1,X_2=(A+\beta I)^{-1}C_2.$$

Nota a pie de página

Una buena característica de esta solución es que la condición para la existencia y la unicidad de una solución de una ecuación de Sylvester es evidente en este caso sencillo :-

$A$ y $-B$ no debe tener ningún valor propio común.

Answer 2

Parece que $AX+XB=[A,I_1]X[I_2,B]^T$ , donde $I_1$ y $I_2$ son matrices de identidad y el subíndice "T" es la transposición de una matriz. Así, el problema se convierte en cómo resolver $[A,I_1]X[I_2,B]^T = C $ . Obviamente, $X=[A,I_1]^\dagger C {[I_2,B]^T}^\dagger$ donde el subíndice ' $\dagger$ ' significa el Pseudo-inverso.

Answer 3

Utilizar el formalismo de los superoperadores: $$ AXB=C \mapsto ( {B}^T\otimes A)\text{vec} X = C $$ (ver aquí para una definición de $\text{vec}(X)\;$ y aquí para más información: Producto Kronecker )

Vuelva a escribir su ecuación (utilizando $AXB\to (B^T\otimes A) \text{vec}\;X$ ) a $$ AX+XB=C \to (1\otimes A)\text{vec}\;X + (B^T\otimes 1)\text{vec}\;X=\text{vec}\;C\\ \text{vec}\;X=\left((1\otimes A) + (B^T\otimes 1)\right)^{-1}\text{vec}\;C, $$ asumiendo que el último inverso existe...