¿Por qué existe un operador autoadjunto $T$ ?

Question

En un espacio de producto interior $V$ con producto interior $\langle\cdot,\cdot\rangle$ con un segundo producto interior $g$ en $V$ ¿por qué existe un operador autoadjunto tal que

$$\langle x,y\rangle= g(T(x),y)$$

para todos $x,y\in V$ ?

Answer 1

Para hacer el problema un poco más simétrico, supongamos que $\langle\cdot,\cdot\rangle_1$ y $\langle\cdot,\cdot\rangle_2$ son productos internos en el mismo espacio de dimensión finita $V$ . Elija una base ortonormal $\{ e_n \}_{n=1}^{N}$ de $V$ con respecto al segundo producto interior. Entonces $\langle e_n,e_{n'}\rangle_2 = \delta_{n,n'}$ y \begin{align} \langle x,y\rangle_1 & = \left\langle x, \sum_{n=1}^{N}\langle y,e_n\rangle_2 e_n\right\rangle_1 \\ & = \sum_{n=1}^{N}\langle e_n,y\rangle_2 \langle x,e_n\rangle_1 \\ & = \sum_{n=1}^{N}\langle x,e_n\rangle_1 \langle e_n,y\rangle_2 \\ & = \left\langle \sum_{n=1}^{N}\langle x,e_n\rangle_1 e_n,y \right\rangle_2 \end{align} Así, el operador lineal $T : V\rightarrow V$ definido por $$ Tx = \sum_{n=1}^{N}\langle x,e_n\rangle_1 e_n. $$ satisface $$ \langle x,y\rangle_1 = \langle Tx,y\rangle_2 $$