Cohomología cristalina de variedades abelianas

Question

Estoy intentando aprender un poco sobre cohomología cristalina (me interesan las aplicaciones a la ordinariez). Siempre que intento leer algo al respecto, me encuentro rápidamente con estructuras de potencia dividida, anillos de periodo y el complejo de de Rham-Witt. Antes de investigar estas cosas, estaría bien tener una idea de cómo es la cohomología que se construye al final.

La cohomología l-ádica de las variedades abelianas tiene una descripción sencilla en términos del módulo de Tate. Mi pregunta es: ¿existe algo similar para la cohomología cristalina de las variedades abelianas?

Más concretamente, dejemos que $X$ sea un esquema abeliano sobre $\mathbb{Z}_p$ . ¿Existe una descripción concreta de $H^1(X_0/\mathbb{Z}_p)$ ? (o simplemente $H^1(X_0/\mathbb{Z}_p) \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathbb{Q}_p$ ?) Creo que debería constar de tres cosas: una $\mathbb{Z}_p$ -módulo $M$ una filtración sobre $M \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathbb{Q}_p$ (que en el caso de una variedad abeliana sólo tiene un término que no es ni 0 ni todo) y un morfismo Frobenius-lineal $M \to M$ .

Creo que la respuesta tiene algo que ver con los módulos Dieudonné, pero tampoco sé cuáles son.

Answer 1

Para añadir algo más al comentario de Brian: la cohomología cristalina de una variedad abeliana (sobre un campo finito de característica p, digamos) es canónicamente isomorfa al módulo de Dieudonné del grupo p-divisible de la variedad abeliana (que es un módulo libre finito sobre los vectores de Witt del campo con un Frobenius semilineal). Si se parte de un esquema abeliano sobre los vectores de Witt de este campo entonces la cohomología cristalina de la fibra especial es canónicamente isomorfa a la cohomología algebraica de de Rham de la cosa de arriba, por lo tanto recibe también una filtración de Hodge.

Un buen punto de partida para entender los módulos de Dieudonné es "Lectures on p-divisible groups" de Demazure, que aparece en Springer LNM. En particular, ofrece una buena descripción de la analogía con los módulos de Tate (y la relación entre los distintos Frobenii que aparecen). Para una visión general de la cohomología cristalina y de las diversas estructuras que pueden colocarse sobre ella, yo consultaría el estudio de Illusie en los volúmenes Motives (ya está un poco desfasado, pero ofrece una buena descripción de la teoría básica).