peso 4 eigenformas con coeficientes racionales--¿es razonable esperar que todas provengan de Calabi-Yaus?

Question

Una forma modular de peso 2 que resulta ser una eigenforma cuspidal normalizada con coeficientes racionales tiene un avatar geométrico natural, a saber, una curva elíptica sobre los racionales. Parece ser una cuestión sutil cómo se generaliza esta noción---esta cuestión fue planteada por Tony Scholl en conversación conmigo el otro día. Por ejemplo, supongo que no esperaría que una eigenforma cuspidal normalizada de peso 3 con coeficientes racionales fuera la $H^2$ de una superficie proyectiva lisa, porque cualquier superficie de este tipo que se precie tendría formas (1,1) procedentes de una sección hiperplana, mientras que los números de Hodge del motivo unido a una forma de peso 3 son 0 y 2.

Pero en el peso 4 se puede volver a soñar. Una 3-fold rígida de Calabi-Yau definida sobre los racionales tiene 2 dimensiones $H^3$ y los números de Hodge coinciden. De hecho, hay muchos ejemplos explícitos de pares $(X,f)$ con $X$ un pliegue 3 rígido de Calabi-Yau sobre $\mathbf{Q}$ y $f$ una eigenforma modular cuspidal de peso 4, tal que la $\ell$ -representación de Galois $f$ es isomorfo a $H^3(X,\mathbf{Q}_\ell)$ para todos $\ell$ .

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La cuestión: ¿Es razonable esperar que (el motivo vinculado a) cada eigenforma cuspidal normalizada de peso 4 con coeficientes racionales está asociada a la cohomología de un 3pliegue rígido de Calabi-Yau sobre $\mathbf{Q}$ ?

Answer 1

@David: Creo que no del todo. A ver si evito hacer una carnicería con esto.... En peso 4, el jacobiano intermedio de la variedad W de Kuga-Sato es $$J^2(W)= \frac{(H^{3,0} \oplus H^{2,1})^\vee}{H_3(W,\mathbb{Z})^\vee}.$$ Nos importa la pieza holomórfica, $H^{3,0}$ que está en biyección con $S_4$ . Sea $\Lambda$ sea la correspondiente subred en $H_3(W,\mathbb{Z})^\vee$ . Si tomamos un ciclo de Heegner $z_\tau$ que es más o menos el gráfico de la multiplicación por un punto de Heegner $\tau$ en $W$ entonces el mapa de Abel-Jacobi es $$AJ(z_\tau)(\omega) = \int\limits_{\Delta_\tau} \omega \mod H_3(W,\mathbb{Z})^\vee$$ donde $\Delta_\tau$ es un $3$ -cadena delimitada por $z_\tau$ . Si elegimos una forma de peso 4 $f$ con $\omega_f:=f(\tau)d\tau dz_1dz_2$ se puede demostrar que $$AJ(z_\tau)(\omega_f) = \int\limits_{i\infty}^\tau f(z) (az^2 + bz + c)dz \bmod \Lambda'$$ donde $\Lambda'$ es una red ligeramente mayor que contiene $\Lambda$ con índice finito. Además $L_f\subset \Lambda'$ . A esto me refería cuando decía que el mapa que construyo arriba evaluado en puntos de Heegner es igual al mapa de Abel-Jacobi en ciclos de Heegner.

@Kevin: Creo que no sé la respuesta a tu pregunta, pero también me gustaría escuchar una respuesta.

El periódico Complex multiplication cycles on elliptic modular threefolds' and the preprint Generalized Heegner cycles and p-adic Rankin L-series' de Bertolini, Darmon y Prasanna lo describen bien.