peso 4 eigenformas con coeficientes racionales--¿es razonable esperar que todas provengan de Calabi-Yaus?

Question

Una forma modular de peso 2 que resulta ser una eigenforma cuspidal normalizada con coeficientes racionales tiene un avatar geométrico natural, a saber, una curva elíptica sobre los racionales. Parece ser una cuestión sutil cómo se generaliza esta noción---esta cuestión fue planteada por Tony Scholl en conversación conmigo el otro día. Por ejemplo, supongo que no esperaría que una eigenforma cuspidal normalizada de peso 3 con coeficientes racionales fuera la $H^2$ de una superficie proyectiva lisa, porque cualquier superficie de este tipo que se precie tendría formas (1,1) procedentes de una sección hiperplana, mientras que los números de Hodge del motivo unido a una forma de peso 3 son 0 y 2.

Pero en el peso 4 se puede volver a soñar. Una 3-fold rígida de Calabi-Yau definida sobre los racionales tiene 2 dimensiones $H^3$ y los números de Hodge coinciden. De hecho, hay muchos ejemplos explícitos de pares $(X,f)$ con $X$ un pliegue 3 rígido de Calabi-Yau sobre $\mathbf{Q}$ y $f$ una eigenforma modular cuspidal de peso 4, tal que la $\ell$ -representación de Galois $f$ es isomorfo a $H^3(X,\mathbf{Q}_\ell)$ para todos $\ell$ .

---

La cuestión: ¿Es razonable esperar que (el motivo vinculado a) cada eigenforma cuspidal normalizada de peso 4 con coeficientes racionales está asociada a la cohomología de un 3pliegue rígido de Calabi-Yau sobre $\mathbf{Q}$ ?

Answer 1

Existe un reciente preimpresión de Paranjape y Ramakrishnan donde discuten estos asuntos. En particular, realizan la función delta de Ramanujan en la cohomología de dimensión media de un 11-dim. ¡Calabi-Yau! Tal vez esto no sea tan sorprendente: su variedad es biracional a una variedad Kuga-Sato.

Permítanme también señalar algo que me ha desconcertado enormemente. (Todo esto puede ser muy incorrecto) Supongamos que $X/ \mathbf{Q}$ es un tríptico rígido de Calabi-Yau. Como usted señala, el $(3,0)$ -pedazo de $H^3(X)$ da una forma modular de peso cuatro $f$ . Ahora, la gente ha conjeturado lo siguiente varios artículos:

1. El jacobiano intermedio $J(X)=H^{3,0}(X) / H_3(X,\mathbf{Z})$ una curva elíptica, se define sobre $\mathbf{Q}$ . Por tanto, da lugar a una forma de peso dos $g$ .

2. El mapa de Abel-Jacobi del grupo $Ch(X)^2_0$ de ciclos únicos homológicamente triviales en $X$ / equivalencia rat. a $J(X)$ es inyectiva y está definida sobre $\mathbf{Q}$ .

3. El rango de $Ch(X)^2_0 / \mathbf{Q}$ es igual al orden de fuga de $L(s,f)$ en su punto central. (Bloch)

Por otra parte, si el mapa de Abel-Jacobi fuera inyectivo y estuviera definido sobre $\mathbf{Q}$ entonces $J(X)(\mathbf{Q})$ debe tener rango como mínimo el rango de $Ch(X)^2_0 / \mathbf{Q}$ . A nivel de L-funciones, esto debería forzar la L-fn adjunta a la forma de peso dos de $g$ desaparecer por orden $\geq$ el orden de desaparición de la L-fn de la forma de peso 4 $f$ . ¿Cómo podrían dos formas modulares de pesos diferentes conocerse de tal manera que los órdenes de fuga de sus funciones L estuvieran entrelazados? Lo único que se me ocurre es que cumplan una congruencia. ¿Quizás pertenezcan a la misma familia Hida? Una especulación descabellada.

Answer 2

Disculpe si estoy malinterpretando su pregunta (que probablemente sea así), pero en http://arxiv.org/abs/0904.1141v1 construyo un mapa para una eigenforma de Hecke $f\in S_k^-(N)$ (fijar k=4 por ejemplo) integrando $\int_{i\infty}^\tau f(z) (az^2 + bz + c) dz$ donde $\tau:=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ es un punto de Heegner de nivel N. Las integrales de período $$L_f:= \{ \int_{i\infty}^{\gamma(i\infty)} f(z) z^m dz, \gamma \in \Gamma_0(N), 0\leq m\leq 2\}$$ forman un entramado, por lo que se obtiene un mapa bien definido sobre los puntos de Heegner mod $\Gamma_0(N)$ a una curva elíptica $\mathbb{C}/L_f$ . Este mapa sobre los divisores de Heegner resulta ser equivalente al $f$ -del mapa de Abel-Jacobi para la variedad Kuga-Sato (en ciclos de Heegner) en su jacobiano intermedio. En este sentido, esto da una asociación entre la curva elíptica $\mathbb{C}/L_f$ y la pieza $H^{3,0}(X)/H_3(X,\mathbb{Z})$ que mencionaste antes. He calculado el $j$ -invariante para algunos ejemplos y las curvas elípticas hasta ahora parecen no estar definidas sobre $\mathbb{Q}$ o cualquier campo numérico. ¿Es esto relevante?

Answer 3

No estoy tan seguro de que su pregunta pueda responderse positivamente, pero lo que sigue es mera especulación, por lo que no debería inmovilizarme al respecto. La idea básica es que podría haber "más" formas de peso 4 que pliegues rígidos CY 3.

Parece que (pero Kevin probablemente sabe esto mejor que yo) que sigue siendo una cuestión abierta si hay finito o infinito peso 4 eigenformas hasta torsión.

Supongamos que hubiera infinitas eigenformas de peso 4 hasta la torsión. Para realizar cada eigenforma de peso 4 necesitamos entonces infinitas $\overline{\mathbb{Q}}$ -de 3 pliegues CY rígidos definidos sobre $\mathbb{Q}$ . Todos los números de Hodge de un 3pliegue CY rígido son a priori fijos, excepto para $h^{1,1}$ y $h^{2,2}$ que coinciden. La característica de Euler de un triplez CY rígido es $2h^{1,1}$ y las 3-folds CY rígidas no admiten deformación, por lo que para realizar cada 4-forma de peso o bien encontramos un diamante de Hodge $D$ tal que

{ $X | X$ variedad compleja proyectiva lisa con diamante de Hodge $D$ }/deformaciones

es infinito, o el valor absoluto de la característica de Euler de un CY de 3 pliegues puede ser arbitrariamente grande. La primera conclusión sería bastante notable, la segunda resolvería un problema abierto (que yo sepa).

Supongamos ahora que sólo hubiera un número finito de eigenformas de peso 4 hasta la torsión. Si queremos evitar los problemas antes mencionados necesitamos que cada eigenforma $f$ se realiza mediante un CY triple $Y_f$ admitiendo una involución, de modo que una torsión de $f$ se realiza mediante un giro de $Y_f$ .

Aún no está claro si hay suficientes CY rígidas para realizar cada forma propia. Se pueden encontrar algunas pruebas computacionales en el libro de Christian Meyer, Modular Calabi-Yau Threefolds. Realiza cerca de 100 eigenformas (hasta la torsión). La lista correspondiente en http://www.fields.utoronto.ca/publications/supplements/weight4.pdf contiene muchas más formas. El nivel más pequeño que no pudo realizar es el 7.

Si permite $h^{2,1}$ sea distinto de cero, es decir, se permite que el motivo de la forma sea un factor de $H^3$ o si te gusta trabajar con variedades cuasi-proyectivas $Y$ tal que su compleción sea una CY 3 veces mayor, entonces estará en una posición mucho mejor.

Answer 4

"A nivel de L-funciones, esto debería forzar a la L-fn unida a la forma de peso dos de g a desaparecer para ordenar el orden de desaparición de la L-fn de la forma de peso 4 f. ¿Cómo podrían dos formas modulares de pesos diferentes conocerse de tal manera que los órdenes de desaparición de sus L-funciones estuvieran entrelazados?".

Un artículo de Dummigan tiene congruencias con la fuga, pero no como tú dices.

http://neil-dummigan.staff.shef.ac.uk/dsw_13.dvi

Un artículo de Schoen da ejemplos de CM para el mapa de Abel-Jacobi.

http://www.jstor.org/stable/2154210

Un papel de Villegas tiene un tipo de conductor [3,0] $59^2$ que tiene orden de fuga 2 (página 437).

http://www.math.utexas.edu/~villegas/publications/square-root-2.pdf

William Stein menciona el cálculo de la j-invariante en su tesis (página 68).

http://wstein.org/papers/thesis/stein-thesis.pdf

Answer 5

Para seguir la cuestión del jacobiano intermedio, existe un estudio posterior de Noriko Yui (Arithmetic of Calabi-Yau varieties. Mathematisches Institut, Georg-August-Universität Göttingen: Seminars Summer Term 2004, 9--29) donde conjetura que está definida sobre $\mathbb Q$ para cualquier CY3 rígido (modular) sobre $\mathbb Q$ .

Además, hace referencia a un trabajo conjunto con X. Xarles en preparación (aún sin publicar) que pretende zanjar esta cuestión en el caso CM:

Sea $X$ sea una CY3 rígida de tipo CM (es decir, con grupo de Hodge conmutativo) sobre algún campo numérico $F$ . Entonces el jacobiano intermedio $J^2(X)$ es una curva elíptica con CM por un orden en un campo cuadrático imaginario (se entiende: el mismo campo, ya que habrá una relación de caracteres de Hecke sobre alguna extensión), y tiene un modelo sobre $F$ .

Apliquemos esto a los CY3 rígidos sobre $\mathbb Q$ y supongamos que hay una por cada nueva forma de peso 4 con coeficientes racionales. Escojamos una de las newforms de peso 4 con coeficientes racionales y CM de clase número 3, es decir, inducida por un carácter de Hecke para un campo cuadrático imaginario $K$ de la clase número 3 como $\mathbb Q(\sqrt{-23})$ (o en general de grupo de clase exponente 3). Se supone que existe un CY3 $X$ en $\mathbb Q$ (que debería tener CM). Pero entonces, por el resultado anterior, su Jacobiano intermedio es una curva elíptica sobre $\mathbb Q$ con CM en $K$ contradicción.

Por supuesto, aún cabe preguntarse si todas las nuevas formas no CM pueden realizarse en algunos CY3 sobre $\mathbb Q$ pero me parecería sorprendente que esto sólo fallara en determinadas formas de CM. Y después de todo, estaría encantado de permitir CY3 no rígidos sobre $\mathbb Q$ admitiendo el submotivo derecho, pero aún así podría no ser suficiente.