Una forma modular de peso 2 que resulta ser una eigenforma cuspidal normalizada con coeficientes racionales tiene un avatar geométrico natural, a saber, una curva elíptica sobre los racionales. Parece ser una cuestión sutil cómo se generaliza esta noción---esta cuestión fue planteada por Tony Scholl en conversación conmigo el otro día. Por ejemplo, supongo que no esperaría que una eigenforma cuspidal normalizada de peso 3 con coeficientes racionales fuera la $H^2$ de una superficie proyectiva lisa, porque cualquier superficie de este tipo que se precie tendría formas (1,1) procedentes de una sección hiperplana, mientras que los números de Hodge del motivo unido a una forma de peso 3 son 0 y 2.
Pero en el peso 4 se puede volver a soñar. Una 3-fold rígida de Calabi-Yau definida sobre los racionales tiene 2 dimensiones $H^3$ y los números de Hodge coinciden. De hecho, hay muchos ejemplos explícitos de pares $(X,f)$ con $X$ un pliegue 3 rígido de Calabi-Yau sobre $\mathbf{Q}$ y $f$ una eigenforma modular cuspidal de peso 4, tal que la $\ell$ -representación de Galois $f$ es isomorfo a $H^3(X,\mathbf{Q}_\ell)$ para todos $\ell$ .
La cuestión: ¿Es razonable esperar que (el motivo vinculado a) cada eigenforma cuspidal normalizada de peso 4 con coeficientes racionales está asociada a la cohomología de un 3pliegue rígido de Calabi-Yau sobre $\mathbf{Q}$ ?