Inspirado por esta prueba en MathWorld reescribí la prueba en términos de la Función theta de Ramanujan .
Definir la función $$M(c)=\prod_{n = 1}^{\infty}(1 +a^{n}b^{n-1}c)\left(1+\frac{a^{n-1}b^{n}}{c}\right)\tag1$$
entonces $$M(abc)=\prod_{n = 1}^{\infty}(1 +a^{n+1}b^{n}c)\left(1+\frac{a^{n-2}b^{n-1}}{c}\right)\tag2$$
$$M(abc)=(1+a^2bc)\left(1+\frac{1}{ac}\right)(1+a^{3}b^{2}c)\left(1+\frac{b}{c}\right)(1+a^{4}b^{3}c)\left(1+\frac{ab^{2}}{c}\right)\cdots$$
$$M(c)=(1+ac)\left(1+\frac{b}{c}\right)(1+a^{2}bc)\left(1+\frac{ab^{2}}{c}\right)(1+a^{3}b^{2}c)\left(1+\frac{a^{2}b^{3}}{c}\right)\cdots$$
En $$\frac{M(abc)}{M(c)}=\left(1+\frac{1}{ac}\right)\left(\frac{1}{1+ac}\right)=\frac{1}{ac}$$
se obtiene la siguiente relación $$M(c)=acM(abc).$$
Ahora defina $$N(c)=M(c)\prod_{n = 1}^{\infty}(1 -(ab)^{n}).$$
Entonces $$N(abc)=M(abc)\prod_{n = 1}^{\infty}(1 -(ab)^{n})$$
que se convierte en $$N(c)=acN(abc).$$
Ampliar ahora $N(c)$ en una serie Laurent $$N(c)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}u_{n}c^{n}.$$
Utilizando la relación fundamental, tenemos $$\sum_{n=-\infty}^{\infty}u_{n}c^{n}=ac\sum_{n=-\infty}^{\infty}u_{n}(abc)^{n}$$
$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}u_{n}a^{n+1}b^{n}c^{n+1}$$
$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}u_{n-1}a^{n}b^{n-1}c^{n}.$$
Lo que conduce a la relación de recurrencia $$u_{n}=u_{n-1}a^{n}b^{n-1}.$$
$$u_{1}=u_{0}a,$$ $$u_{2}=u_{1}a^{2}b=u_{0}a^{3}b,$$ $$u_{3}=u_{2}a^{3}b^{2}=u_{0}a^{6}b^{3},$$ $$u_{4}=u_{3}a^{4}b^{3}=u_{0}a^{10}b^{6}.$$
Que en forma general es $$u_{n}=u_{0}a^{n(n+1)/2}b^{n(n-1)/2}.$$
Sustituyendo ahora de nuevo en la serie original de Laurent, obtenemos $$N(c)=u_{0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}a^{n(n+1)/2}b^{n(n-1)/2}c^{n}.$$
Se puede demostrar fácilmente que $u_{0}=1$ de modo que tenemos el triple producto de Jacobi en términos de la función theta de Ramanujan $$N(c)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a^{n(n+1)/2}b^{n(n-1)/2}c^{n}.$$
Q :¿Es correcta esta generalización de la prueba?
Revisado 25 de abril de 2020
Siguiendo la crítica de Somos, busqué en un par de documentos y finalmente di con el siguiente sobre wikipedia
Pongamos $a=b=q=e^{2\pi i \tau}$ y $c=1$ y demuestre que el numerador y el denominador siguientes
$\frac{1}{u_{0}(e^{2\pi i n^2 \tau})}=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi i n^2 \tau}}{\prod_{k = 1}^{\infty}(1-e^{4\pi i k \tau})\left(1+e^{2\pi i (2k-1) \tau}\right)^2}$
son funciones modulares de peso 1/2 bajo la transformación $\tau = \frac{-1}{4 \tau}$
Dado que una función modular es 1-periódica $f(q+1)=f(q)$ y acotado en el semiplano superior $\tau \to i \infty$ debe ser constante según Teorema de Louiville por lo que el cociente tiene que ser constante de forma que $u_{0}(q)=u_{0}(0)=1$
