Inclusión de $L^r(\mu)$ en $L^q(\mu)+L^p(\mu)$

Question

Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medidas positivas, entonces $L^r(\mu)\subset L^p(\mu)+L^q(\mu)$ . ¿Cómo puedo demostrarlo?

Conozco las inclusiones estándar para espacios de medida finita, y espacios sin subestadios de medida pequeña arbitraria. Pero no sé qué tipo de desigualdad puedo utilizar en este caso.

Answer 1

Supongo que se refiere a que $p < r < q$ .

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Cuanto mayor sea $p$ es, el mejor trabajo $L^p$ hace de detectar valores grandes, y el más pequeño $p$ es, el mejor trabajo $L^p$ sí detecta grandes apoyos.

Así que dado $f \in L^r$ considera los límites:

$$f = f \chi_{|f| > 1} + f \chi_{|f| \le 1}$$

El primero tiene poco apoyo, y se ve fácilmente que está en $L^p$ . El segundo tiene valores pequeños, y se ve fácilmente que está en $L^q$ .