¿Ejemplo de morfismo suave en el que no se puede levantar un mapa de un engrosamiento nilpotente?

Question

Definición. Un morfismo localmente finitamente presentado de esquemas $f\colon X\to Y$ es suave (resp. unramified resp. étale ) si para cualquier afín esquema $T$ cualquier subesquema cerrado $T_0$ definido por un ideal cero cuadrado $I$ y cualquier morfismo $T_0\to X$ y $T\to Y$ haciendo que el siguiente diagrama conmute

    g
T0 --> X
|      |
|      |f
v      v
T ---> Y

existe (resp. existe a lo sumo uno, resp. existe exactamente uno) morfismo $T\to X$ que rellena el diagrama para que siga conmutando.

Para comprobar que $f$ es unramified o étale, no importa que yo requería $T$ sea afín. La razón es que para una $T$ Puedo cubrir $T$ por afines, comprobar si existe (un único) morfismo en cada afín, y luego "pegar el resultado". Si hay como máximo un morfismo localmente, entonces hay como máximo uno globalmente. Si hay un morfismo único localmente, entonces hay un morfismo único globalmente (la unicidad permite pegar los solapamientos).

Pero para comprobar que $f$ es suave, es muy importante exigir $T$ sea afín en la definición, porque podría ser que existieran morfismos $T\to X$ localmente en $T$ pero es imposible encontrar estos morfismos locales de tal manera que se peguen para dar un morfismo global.

Pregunta: ¿Cuál es un ejemplo de morfismo suave $f\colon X\to Y$ un engrosamiento nilpotente cuadrado cero $T_0\subseteq T$ y un cuadrado conmutativo como arriba para que haya no existe un morfismo $T\to X$ ¿rellenar el diagrama?

Estoy seguro de que elaboré un ejemplo de este tipo con alguien hace años, pero ahora no puedo reproducirlo (y tal vez estaba equivocado). Una cosa que puede valer la pena señalar es que el conjunto de tales morfismos de relleno $T\to X$ si no es vacío, es un torsor bajo $Hom_{\mathcal O_{T_0}}(g^*\Omega_{X/Y},I)=\Gamma(T_0,g^*\mathcal T_{X/Y}\otimes I)$ donde $\mathcal T_{X/Y}$ es el haz tangente relativo. Así que el obstáculo para encontrar tal elevación representará un elemento de $H^1(T_0,g^*\mathcal T_{X/Y}\otimes I)$ (si quieres puedes verlo con los cocycles de Cech). Así que en cualquier ejemplo, este grupo tendrá que ser distinto de cero.

Answer 1

Utilizando algunas de las ideas de BCnrd junto con una construcción diferente, daré una respuesta positiva a la pregunta más fuerte de Kevin Buzzard; es decir, existe un contraejemplo para cualquier morfismo liso no etaliano.

Llamamos morfismo $X \to Y$ muy suave si es localmente de presentación finita y para cada engrosamiento nilpotente (cuadrado-cero) $T_0 \subseteq T$ de $Y$ -esquemas, cada $Y$ -morfismo $T_0 \to X$ eleva a un $Y$ -morfismo $T \to X$ .

Teorema: Un morfismo es wicked smooth si y sólo si es etale.

Prueba: Anton ya explicó por qué etale implica malvado suave.

Supongamos ahora que $X \to Y$ es endiabladamente suave. En particular, $X \to Y$ es suave, por lo que queda demostrar que las fibras geométricas son $0$ -dimensional. Los morfismos suaves malvados se preservan por cambio de base, así que por extensión de base por cada $y \colon \operatorname{Spec} k \to Y$ con $k$ un campo algebraicamente cerrado, reducimos al caso $Y=\operatorname{Spec} k$ . Además, podemos sustituir $X$ por un subesquema abierto para suponer que $X$ es etale sobre $\mathbb{A}^n_k$ para algunos $n \ge 0$ .

Fijar una variedad proyectiva $P$ y un suryecto $\mathcal{F} \to \mathcal{G}$ de láminas coherentes en $P$ de forma que $g \in \Gamma(P,\mathcal{G})$ no es a imagen y semejanza de $\Gamma(P,\mathcal{F})$ . (Por ejemplo $P = \mathbb{P}^1$ , dejemos que $\mathcal{F} = \mathcal{O}_P$ y que $\mathcal{G}$ sea el cociente correspondiente a un subesquema formado por dos $k$ -puntos.) Haga $\mathcal{O}_P \oplus \mathcal{F}$ un $\mathcal{O}_P$ -declarando que $\mathcal{F} \cdot \mathcal{F} = 0$ y que $T = \operatorname{\bf Spec}(\mathcal{O}_P \oplus \mathcal{F})$ . Del mismo modo, defina $T_0 = \operatorname{\bf Spec}(\mathcal{O}_P \oplus \mathcal{G})$ que es un subesquema cerrado de $T$ definida por una gavilla ideal nilpotente. Entonces podemos ver $g = 0+g \in \Gamma(P,\mathcal{O}_P \oplus \mathcal{G}) = \Gamma(T_0,\mathcal{O}_{T_0})$ .

Elija $x \in X(k)$ ; sin pérdida de generalidad su imagen en $\mathbb{A}^n(k)$ es el origen. Utilizando la propiedad de elevación infinitesimal para el morfismo etale $X \to \mathbb{A}^n$ y el engrosamiento nilpotente $P \subseteq T_0$ levantamos el punto $(g,g,\ldots,g) \in \mathcal{A}^n(T_0)$ asignación a $(0,0,\ldots,0) \in \mathbb{A}^n(P)$ a algunos $x_0 \in X(T_0)$ asignación a $x \in X(k) \subseteq X(P)$ . Por la suavidad perversa, $x_0$ ascensores a algunos $x_T \in X(T)$ . La imagen de $x_T$ en $\mathbb{A}^n(T)$ ascensores $(g,g,\ldots,g)$ por lo que cada coordenada de $x_T$ es una sección global de $\mathcal{F}$ asignación a $g$ lo que es una contradicción a menos que $n=0$ . Así $X \to Y$ es etale.

Answer 2

Sea $Y=\operatorname{Spec} k$ y que $X=\mathbb{P}^1_k$ visto como $\operatorname{Spec} k[t]$ pegado a $\operatorname{Spec} k[t^{-1}]$ . Sea $T = \operatorname{\bf Spec}(\mathcal{O}_X + \mathcal{O}_X(-2)\epsilon + \mathcal{O}_X(-4) \epsilon^2)$ donde $\epsilon^3=0$ Así que $T$ es $$\operatorname{Spec}(k[t] + k[t]\epsilon + k[t]\epsilon^2)$$ pegado a $$\operatorname{Spec}(k[t^{-1}] + t^{-2} k[t^{-1}]\epsilon + t^{-4} k[t^{-1}]\epsilon^2).$$ Sea $I$ sea la gavilla ideal de $\mathcal{O}_T$ generado por $\epsilon^2$ , y que $T_0$ sea el subesquema asociado. Consideremos el $k$ -morfismo $T_0 \to X$ dada por $$t \mapsto t + \epsilon$$ $$t^{-1} \mapsto t^{-1} - t^{-2} \epsilon.$$ (Compruebe que está bien definido, es decir, que $(t+\epsilon)(t^{-1} - t^{-2} \epsilon) = 1$ en $k[t,t^{-1}][\epsilon]/(\epsilon^2)$ .) Una elevación de esto a un morfismo $T \to X$ tiene la forma $$t \mapsto t + \epsilon + f(t) \epsilon^2$$ $$t^{-1} \mapsto t^{-1} - t^{-2} \epsilon + t^{-4} g(t^{-1}) \epsilon^2$$ para algunos polinomios $f$ y $g$ pero la condición de compatibilidad es ahora $$t^{-3} g(t^{-1}) - t^{-2} + t^{-1} f(t) = 0,$$ que no tiene solución.

Nota: Si sustituimos $\mathcal{O}(-4)$ con $\mathcal{O}(-3)$ entonces hay sería sea un levantamiento, dado por los polinomios de Taylor de $t$ y $t^{-1}$ es decir, $$t \mapsto t + \epsilon$$ $$t^{-1} \mapsto \frac{1}{t+\epsilon} = t^{-1} - t^{-2} \epsilon + t^{-3} \epsilon^2.$$

Answer 3

El ejemplo que me viene fácilmente a la mente es el de la $X=L$ es un haz de líneas sobre $Y$ una variedad proyectiva lisa sobre, digamos, $\mathbb{Z}_p$ . Tomamos $T=Y$ y $T_0=Y_0$ la fibra especial de $Y$ . Entonces $L$ puede tener muchas secciones sobre $Y_0$ que se niegan a levantar a $Y$ . Obsérvese que esto implica lo que se desea, ya que si las secciones pudieran elevarse repetidamente sobre ideales cuadrados nulos, entonces podrían elevarse hasta $Y$ . (Por GAGA formal, si quieres.) Es decir, sustituir el original $Y_0$ por $Y\otimes \mathbb{Z}/p^n$ para grandes $n$ .

Un lugar donde se puede ver esto deletreado con $L$ las potencias tensoriales del haz canónico $\omega_{Y/\mathbb{Z}_p}$ ('salto de plurigenera') es un trabajo de Junecue Suh:

Compos. Math. 144 (2008), no. 5, 1214-1226. (Por desgracia, no tengo ningún enlace que no requiera iniciar sesión).

Creo que construye ejemplos en los que el salto es arbitrariamente grande incluso para superficies Shimura.

Este ejemplo es probablemente demasiado patológico, y sospecho que usted puede construir más comunes $L$ .

Answer 4

Supongamos que $X \to Y$ es un mapa suave de variedades, y denotamos por $Y'$ el espectro relativo de $\mathcal O_Y[t]/(t^2)$ . Las elevaciones de $X \to Y$ a $Y'$ están parametrizadas por $\mathrm H^1(X, \mathrm T_{X/Y})$ . Supongamos ahora que $X' \to Y'$ es una elevación $s\colon Y \to X$ es una sección; es fácil ver que el obstáculo para levantar $s$ a una sección $Y' \to X'$ es la imagen del elemento de $\mathrm H^1(X, \mathrm T_X/Y)$ en $\mathrm H^1(Y, \mathrm s^*T_{X/Y})$ ; así que para dar un ejemplo en el que la sección no se levanta basta con dar ejemplos en los que el mapa $\mathrm H^1(X, \mathrm T_{X/Y}) \to \mathrm H^1(Y, \mathrm s^*T_X/Y)$ no es 0. Esto es fácil; por ejemplo, se puede tomar $L$ sea un haz de líneas en $Y$ con $\mathrm H^1(Y,L) \neq 0$ y $f\colon X \to Y$ el espacio total de $L$ . En este caso lo que ocurre es que $X' \to Y'$ es un $L$ -torsor, por lo que la sección trivial $Y \to L$ no se levanta.

Otro tipo de ejemplo es el sugerido por Minhyong. Tomemos $Y$ sea una variedad proyectiva sobre $k$ con $\mathrm H^0(Y, \mathcal O) = k$ y $\mathrm H^1(Y, \mathcal O) \neq 0$ dejar $Y'$ sea como antes. Existe un haz de líneas no trivial $L'$ en $Y'$ cuya restricción a $Y$ es $\mathcal O_Y$ ; entonces la única sección de $\mathcal O_Y$ que levanta es la sección cero.