¿Es el conjunto de irracionales separable como subespacio de la recta real?

Question

Estoy tratando de encontrar un ejemplo de un espacio Hausdorff separable que tenga un subespacio no separable. Esto me llevó a plantear la pregunta del título: ¿es el conjunto de irracionales, considerado como un subespacio de la recta real, separable o no separable?

Un espacio es separable si contiene un subconjunto denso contable. Un subconjunto $A$ de un espacio $X$ es denso en $X$ si $\bar{A}=X$ .

Es fácil encontrar un conjunto denso y un conjunto contable en $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ ya que (trivialmente) $\overline{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ en la topología del subespacio, y como conjunto contable podemos tomar algo como $\{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$ . Pero, ¿existe un subconjunto que sea a la vez denso y contable? Y, por supuesto, ¿cómo demostramos el resultado?

Answer 1

$\Bbb R$ es segundo contable (es decir, tiene una base contable), por lo que es hereditariamente separable. En concreto, dejemos que $\mathscr{B}$ sea el conjunto de todos los intervalos abiertos con puntos finales racionales; $\Bbb Q$ es contable, por lo que $\mathscr{B}$ es contable. Enumerar $\mathscr{B}=\{B_n:n\in\Bbb N\}$ y para $n\in\Bbb N$ dejar $x_n$ sea cualquier número irracional en $B_n$ . Entonces $\{x_n:n\in\Bbb N\}$ es un subconjunto denso contable de $\Bbb R\setminus\Bbb Q$ . (Está claro que el mismo truco funciona para cualquier subconjunto de $\Bbb R$ no sólo los irracionales).

Para un ejemplo explícito de tal conjunto, dejemos que $\alpha$ sea cualquier irracional; entonces $\{p+\alpha:p\in\Bbb Q\}$ es un subconjunto denso contable de $\Bbb R\setminus\Bbb Q$ .

Hay muchos espacios Hausdorff separables con subespacios no separables. Dos de ellos se mencionan en esta respuesta a una pregunta anterior. El primero es compacto; el segundo es Tikhonov y pseudocompacto. Ambos son, por tanto, espacios bastante bonitos. Sin embargo, ambos son un poco complicados. Un ejemplo más sencillo es el Avión de Sorgenfrey $\Bbb S$ : $\Bbb Q\times\Bbb Q$ es un subconjunto denso contable de $\Bbb S$ y $\{\langle x,-x\rangle:x\in\Bbb R\}$ es un subconjunto discreto e incontable de $\Bbb S$ (que obviamente no es separable como subespacio de $\Bbb S$ ).

Answer 2

Todo subespacio de un espacio métrico separable es separable.

Para los irracionales, toma los números algebraicos irracionales, esos son densos en $\mathbb R$ y, por tanto, también en los irracionales. Como comenta Jacob más adelante, si $\alpha$ es irracional, entonces $\{\alpha+q\mid q\in\mathbb Q\}$ también es denso.

En general, los irracionales son homeomorfos al espacio de Baire, el conjunto de secuencias de números naturales, dotado de la topología de producto $\mathbb N^\mathbb N$ .

Esto tiene un subconjunto denso contable: eventualmente secuencias constantes.