Mostrar una función $\notin L^1$

Question

Q) Sea $F(x)=\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt$ para $x\in (0,\infty)$ . Si $f>0, f\in L^1$ demuestre que $F\notin L^1$ .

Mi intento:

Desde $f\in L^1$ , $\int_0^x f(t)dt<\infty$ para todos $x\in (0,\infty)$

$$\int_0^\infty |F(x)|dx = \int_0^\infty \frac{1}{x}\bigg|\int_0^x f(t)dt\bigg| = \int_0^\infty \frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt \text{ since $ f>0 $ } \\ =\int_0^\infty \int_t^\infty \frac{f(t)}{x}dxdt \text{ By Fubini's } \\ =\int_0^\infty f(t)\log x\bigg|_t^\infty dt = \infty $$

Por lo tanto $F\notin L^1$ . ¿Es correcto?

Answer 1

Alternativamente tiene $F(x)\underset{+\infty}{\sim}\frac{\|f\|_1}{x}$ que no es integrable.