Busco una prueba del siguiente hecho:
Si $R$ es un anillo local principal de artin y $M$ a finitely generated $R$ -entonces $M$ es una suma directa de $R$ -módulos.
(Aparentemente tales anillos $R$ se denominan, por ejemplo en Zariski-Samuel, anillos ideales principales especiales).
Estuve a punto de no hacer esta pregunta por miedo a que se me escapara algo obvio, pero he sido incapaz de encontrar una demostración y no la encuentro en ningún sitio (si estoy siendo estúpido, no me importaría que me lo dijeran). Zariski-Samuel demuestra un teorema de estructura para anillos ideales principales (son productos de PID's y PIR's especiales), así como el hecho de que un submódulo de un anillo ideal principal generado por n elementos está generado por $\leq n$ elementos. Pensé que tal vez la afirmación anterior podría deducirse de este último hecho, de una manera similar a la forma en que se demuestra el resultado correspondiente para módulos finitos sobre PID, pero el obstáculo para esto (como yo lo veo) es que los submódulos de libre $R$ -no serán libres en general (por ejemplo, el ideal maximal de $R$ no es gratuito, suponiendo que $R$ no es un campo, es decir, tiene longitud $\geq 2$ ). Esencialmente, la inducción ingenua sobre el número de generadores no parece funcionar porque no puedo estar seguro de que la secuencia exacta relevante se divide... de nuevo, tal vez sólo estoy siendo tonto. Creo que se podría encontrar una prueba en el capítulo VIII del texto de Álgebra de Bourbaki, pero este capítulo no está en mi copia (creo que tal vez sólo está disponible en francés).
Por cierto, es sencillo demostrar que, si existe tal descomposición, el número de veces que un factor de la forma $R/(\pi^i)$ donde $(\pi)$ es el ideal máximo de $R$ y $1\leq i\leq k$ ( $k$ siendo la longitud de $R$ es decir, el índice de nilpotencia de $(\pi)$ ) se determina unívocamente como la longitud de un cociente de $M$ por ejemplo.
La razón por la que estoy interesado en esto es porque quiero saber que el tipo de isomorfismo de $M$ está completamente determinada por la función que envía $i$ , $1\leq i\leq k$ a la longitud de $M[\pi^i]$ (el núcleo de la multiplicación por $\pi^i$ ), lo que, suponiendo que exista tal descomposición, es definitivamente el caso.
Edito: Me he dado cuenta de que mi módulo M puede (siendo artiniano) escribirse como una suma directa finita de submódulos indecomponibles, así que supongo que esto reduce mi pregunta a: ¿debe un submódulo indecomponible de $M$ ser un cíclico?
