Sea $(X_t)_{t\ge0}$ sea un proceso estocástico en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal F, \mathbb P)$ y que $\mathcal F_t=\sigma(X_s:0\le s\le t)$ . Sea $\Lambda\in \mathcal F_t$ con $\Lambda\subset \{|X_t|<a\}$ y $\mathbb P(\Lambda)>0$ . Defina $$ Y = \frac{1}{2 \epsilon} \int_t^{t+2\epsilon} 1_{\{x:|x|<2a\}} (X_s) \ ds. $$ ¿Cómo puedo demostrar la siguiente desigualdad : $$ 2\mathbb E[Y\mid\Lambda] \le 2 \mathbb P(Y>1/2\mid\Lambda) + \mathbb P(Y\le1/2\mid\Lambda) $$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
user36150
Puntos
8
Obviamente, tenemos
$$0 \leq Y \leq \frac{1}{2\epsilon} \int_{t}^{t+2\epsilon} 1 \, ds = 1.$$
Por lo tanto,
$$Y = \underbrace{Y}_{\leq 1} \cdot 1_{\{Y>1/2\}} + \underbrace{Y}_{\leq 1/2} \cdot 1_{\{Y \leq 1/2\}} \leq 1_{\{Y>1/2\}} + \frac{1}{2} 1_{\{Y \geq 1/2\}}.$$
Ahora la afirmación se sigue tomando la expectativa condicional $\mathbb{E}( \cdot \mid \Lambda)$ en ambos lados. (Recordemos que la expectativa condicional es monótona, es decir $X \leq Z \implies \mathbb{E}(X \mid \Lambda) \leq \mathbb{E}(Z \mid \Lambda)$ para dos variables aleatorias integrables cualesquiera $X$ , $Z$ .)
