El primer medio de los números Primos

Question

1) hay una infinidad de números primos $p_1,p_2$ tal que $\frac{p_1+p_2}{2}$ también es primo?

2) ¿Qué podemos decir acerca del problema más general :

Hay una infinidad de números primos $p_1,p_2,\cdots, p_n$ tal que $\frac{p_1+p_2+\cdots+p_n}{n}$ es también una excelente para $n\geq 1$?

$\mathbf{Remark}$: Tenga en cuenta que para $n=1$, el problema 2 se resuelve por medio del teorema de Euclides.

Answer 1

Ambos casos se sigue del hecho de que no existen progresiones de los números primos de la longitud de la $k,$ por cada $k\ge 2.$ Esto es Green-Tao Teorema.

Nota:en caso de $n=2$ fue demostrado por K. Roth.