Cortar conjuntos convexos

Question

Cualquier conjunto convexo acotado del plano euclídeo puede cortarse en dos trozos convexos de igual área y circunferencia.

¿Se puede cortar cada conjunto convexo acotado del plano euclidiano en un número arbitrario $n$ de piezas convexas de igual área y circunferencia?

La solución de este problema para $n=2$ es genéricamente único. ¿Existen otros valores de $n$ (suponiendo que el problema sea posible) ¿dónde ocurre esto?

En términos más generales, dada una $d-$ conjunto convexo acotado dimensional $C$ en el espacio euclidiano $\mathbf E^d$ de dimensión $d$ . para los que los valores de $n$ se puede cortar $C$ en $n$ piezas convexas de igual área con límites de igual $(d-1)-$ ¿área dimensional? ( $n=2$ vuelve a ser fácil, pero la solución ya no es genéricamente única si $d>2$ ). ¿Existen valores para $(n,d)$ para la que la solución siempre existe de forma genéricamente única (o para la que el número de soluciones es genéricamente finito)?

Answer 1

Permítanme (como participante tardío) añadir un poco más de información. La versión 2D de su pregunta fue planteada por R. Nandakumar y N. Ramana Rao y publicada en TOPP . Han escrito "una introducción" a su problema de "Partición justa": http://arxiv.org/abs/0812.2241 . Citan un artículo de próxima publicación de Barany, Blagojevic y Szucs que resuelve el problema (positivamente) para $n=3$ .

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Anexo (3Dec10): Boirs Aronov y Alfredo Hubard acaban de anunciar un avance significativo en este problema. una charla en un seminario sobre este tema en la NYU . Lo resolvieron (positivamente) para todas las potencias primos $n$ . He aquí el resumen de la charla, titulada "Del bocadillo a la cintura":

Hablaré de un teorema tipo Ham Sandwich/Borsuk Ulam. Sea $K$ sea un cuerpo convexo, para cualquier potencia prima $n=p^k$ es posible particionar $K$ en $n$ piezas convexas con áreas iguales y perímetro igual.

Esto confirma una conjetura de Nandakumar y Ramana Rao (para todas las primeras potencias). La prueba utiliza algunas ideas básicas del transporte óptimo y de la topología equivariante. Resulta que esto está estrechamente relacionado con uno de los principales ingredientes de la prueba de Gromov de la Cintura de la Esfera desigualdad.

Aquí es un artículo sobre el teorema de la "cintura de la esfera" de Gromov.

Edita. He aquí un artículo de arxiv de Aronov & Hubard sobre su trabajo.

Answer 2

Siento que la pregunta es de alguna manera "incorrecta" aunque sea perfectamente razonable. Así que permítanme responder a una pregunta muy relacionada, más o menos conocida, pero no exactamente igual.

Di, $P \subset \Bbb R^2$ es un conjunto convexo acotado con el límite $\partial P$ . Pregunta: se puede cortar $P$ en $n$ partes convexas con $n-1$ cortes rectos, de forma que cada parte tenga la misma superficie y la misma porción del límite $\partial P$ (piense en dividir el pastel equitativamente con respecto al tamaño y al glaseado). Afirmo que esto es posible con cortes rectos. La diferencia con tu problema es que de alguna manera ignoro la parte interna del perímetro.

En lugar de darte una demostración completa te diré simplemente que se trata de un corolario fácil del "teorema de la cuerda inscrita" y de las aplicaciones de la "división justa" que doy. Puedes leerlo en mi Libro subsecciones 4.3 y 4.4. Sé que es un mal truco referirse a tus propios escritos, pero esta es la mejor referencia que conozco. Como alternativa, puede leer la primera parte de la historia en estos magníficas notas de clase de Hopf. Nótese también que el lema original (debido a P. Lévy) tiene una segunda parte que, en este caso, sugiere que cualquier otra división (como, por ejemplo, 30% y 70%) no va a funcionar en algunos casos (aunque no lo he pensado detenidamente).

Ahora, una última reflexión: si no insistes en la convexidad, siempre puedes manipular los cortes diagonales para hacerlos curvas más largas de tal forma que todas las partes sean no convexas pero tengan igual perímetro. Quizá esto te ayude.

Answer 3

Existe una generalización de esta pregunta, en la que "área" y "circunferencia" se sustituyen por medidas arbitrarias "bonitas" (a efectos de esta respuesta, digamos medidas absolutamente continuas) $\mu$ y $\nu$ en $\mathbb{R}^2$ . Bárány y Matoušek tienen un buen documento sobre el tema .

De forma aún más general, fijar buenas medidas de probabilidad $\mu_1,\ldots,\mu_i$ en $\mathbb{R}^2$ . A $k$ -fan en $\mathbb{R}^2$ consiste en $k$ rayos (líneas semi-infinitas) $r_1,\ldots,r_k$ que emanan de un punto, enumerados en cierto orden en el sentido de las agujas del reloj. (De hecho $k$ -también se permite que emanen del punto en el infinito, es decir, un conjunto de $k$ líneas paralelas se considera $k$ -fan.) Escriba a $C_k$ para la región que procede $r_k$ en el sentido de las agujas del reloj.

Dado un vector $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)$ con entradas no negativas que suman uno, digamos que $\mu_1,\ldots,\mu_r$ puede ser simultáneamente $\alpha$ -particionado si existe un $k$ -fan tal que $\mu_i(C_j)=\alpha_j$ para cada $i=1,\ldots,r$ y $j=1,\ldots,k$ . (Si $\alpha_1=\ldots=\alpha_k=1/k$ decir que las medidas pueden ser equiparticionados simultáneamente . Este caso, con $k=2$ es lo más parecido al original )

Bárány y Matoušek tienen toda una serie de resultados sobre cuándo existen y cuándo no existen tales particiones. He aquí sólo un par:

• Para cualquier $k \geq 5$ y cualquier $\alpha$ hay dos medidas que no pueden ser simultáneas $\alpha$ -particionado.
• Para cualquier $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2)$ dos medidas cualesquiera pueden ser simultáneamente $\alpha$ -particionado, incluso si el centro del abanico se especifica de antemano.

Nadie sabe, por ejemplo, si dos medidas cualesquiera pueden equipartirse simultáneamente en cuatro partes. Karasev parece tener un papel donde demuestra que dos medidas cualesquiera pueden equipartirse simultáneamente en $q$ convexo partes, siempre que el número de partes sea una potencia prima. (Esto se logró por primera vez para tres partes -- este es el resultado de Bárány et al que Joseph O'Rourke mencionó). No tengo clara la relación entre esto y el resultado de Hubard y Aronov, mencionado por Joseph O'Rourke en su respuesta.

También se han considerado versiones de mayor dimensión, pero aún queda mucho por hacer. Por ejemplo, para tres medidas cualesquiera en $\mathbb{R}^3$ ¿se puede encontrar siempre una $3$ -partición del espacio de modo que cada medida tenga medida $1/3$ en cada parte? (Oí decir a Bárány en un seminario que la versión con $3$ sustituido por un poder de $2$ se sabe que es cierto; pero no anoté ninguna referencia).