Digamos que tenemos una teoría QED sin masa con un Lagrangiano
\begin{equation} L=i\bar{\psi}\not{D}\psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \end{equation}
El tensor energía-momento simétrico es
\begin{equation} \Theta^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\bar{\psi}\Big\{\gamma^\mu D^\nu+\gamma^\nu D^\mu\Big\}\psi-\eta^{\mu\nu}i\bar{\psi}\not{D}\psi-F^{\mu\lambda}F^\nu_{\ \lambda}+\frac{1}{4}\eta^{\mu \nu}F^{\sigma\lambda}F_{\sigma\lambda} \end{equation}
La traza de este operador es
\begin{equation} \Theta^\mu_{\ \mu}=\big(1-d\big)i\bar{\psi}\not{D}\psi+\big(\frac{d}{4}-1\big)F^{\sigma\lambda}F_{\sigma\lambda} \end{equation}
La parte fermiónica es cero si utilizamos la ecuación de Dirac, que puede expresarse como "El tensor energía-momento no tiene traza on-shell ". Por otro lado, si estamos trabajando en un $d=4$ espaciotiempo, la parte del fotón no tiene traza inmediata.
La última ecuación funciona si $\Theta^\mu _{\ \mu}$ es también un operador cuántico, ya que las ecuaciones de movimiento funcionan también para los operadores. Mi pregunta es: ¿Cómo es la inserción de la integral de trayectoria $\langle\Theta^\mu_{\ \mu}\rangle$ no inmediatamente cero?
Mi respuesta preliminar es que cuando se calcula realmente que el uso de
\begin{equation} \langle\Theta^\mu_{\ \mu}\rangle=\int\mathcal{D}\psi\mathcal{D}A_\mu\Theta^\mu_{\ \mu}e^{-S_E} \end{equation}
el operador dentro de la integral de trayectoria no es on-shell, lo que significa que no es cero. Sin embargo, si estuviéramos trabajando sólo con el campo de fotones en $d=4$ entonces no hay manera $\langle\Theta^\mu_{\ \mu}\rangle$ no es cero.
¿Es correcto mi razonamiento?
