Los cuantificadores y el inglés: Diferencia existencial y universal

Question

En primer lugar, disculpen mi simplicidad al describir el título; no pude encontrar un título adecuado que pudiera explicar lo que me confunde. El ejemplo examina cómo expresamos los siguientes enunciados en predicados y cuantificadores,

• "Todos los alumnos de esta clase han visitado México"
• "Algún alumno de esta clase ha visitado México"

La primera afirmación es bastante fácil. Si tomamos $x$ como el dominio de las personas, $S(x)=$ ' $\text{x is a student}$ y $M(x)=$ ' $\text{x visited Mexico}$ '. Tenemos $\forall x(S(x) \rightarrow M(x))$ . Está claro que no funcionaría si lo tuviéramos así $\forall x(S(x) \land M(x))$ . Porque eso significaría que todo el dominio de $x$ es $S(x)$ pero eso no es cierto.

Ahora, la confusión viene cuando entramos en la segunda afirmación. La respuesta es $\exists x(S(x) \land M(x))$ pero No veo cómo esta representación $\exists x(S(x) \rightarrow M(x))$ puede estar equivocado.

Answer 1

Tu confusión probablemente radica en que no tienes claro lo que debes hacer. Quieres express algunos hechos:

1. Todos los alumnos de la clase han visitado México
2. Al menos un alumno de la clase ha visitado México

En esta fase no estás preguntando si una de las dos cosas es verdadera o falsa. Sólo quieres un enunciado formal que exprese esos hechos.

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Considere la tabla verdadero-falso para $\to$ : $$ \begin{array}{cc|c} A&B& A\to B \\ \hline T & T & T \\ T & F & F \\ F & T & T \\ F & F & T \end{array} $$ Así, la declaración $\exists x(S(x)\to M(x))$ es verdadero si hay un individuo en tu dominio que no es estudiante y visitó México o no. Por lo tanto, en cuanto hay un no estudiante, la afirmación es verdadera.

También puede verlo sustituyendo $\exists x$ con $\lnot\forall x\lnot$ y $S(x)\to M(x)$ por $\lnot S(x)\lor M(x)$ : \begin{gather} \exists x(S(x)\to M(x))\\ \lnot\forall x\lnot(\lnot S(x)\lor M(x))\\ \lnot\forall x(\lnot\lnot S(x)\land \lnot M(x))\\ \lnot\forall x(S(x)\land \lnot M(x)) \end{gather} Así pues, la afirmación inicial es falsa si y sólo si $$ \forall x(S(x)\land \lnot M(x)) $$ es cierto, es decir, cada individuo es un estudiante y ningún individuo ha visitado México.

Mira la tabla de verdad para $\land$ En su lugar: $$ \begin{array}{cc|c} A&B& A\land B \\ \hline T & T & T \\ T & F & F \\ F & T & F \\ F & F & F \end{array} $$ Ahora todo debe quedar claro: la afirmación es cierta si y sólo si tiene $S(x)$ y $M(x)$ para el mismo individuo.

Answer 2

Tal vez mirar la negación de la segunda frase, que sería:

Ninguno de los estudiantes ha visitado México

o:

Todos los alumnos de esta clase no han visitado México

Así que se traduciría como $$ \forall x(S(x)\to\neg M(x))$$ o equivalentemente $$ \forall x(\neg(S(x)\land M(x))$$ Algo que es malo para todos debe ser cierto para algunos, es decir. $\forall x\neg\Phi$ es lo mismo que $\exists x \Phi$ . Así que llegamos a $$ \exists x(S(x)\land M(x)).$$