Así me enteré de que si uno se inscribe el círculo más grande que puede caber en un triángulo equilátero, entonces se divide el perímetro de un triángulo por el diámetro del círculo inscrito, se le da un valor, que puede ser llamado "triángulo $\pi$", y que el valor ($\sqrt{27}$) puede ser utilizado en el lugar de regular $\pi$ a derivar de los volúmenes de los otros sólidos platónicos. Es eso cierto? Existe una $\pi$ para los triángulos? Cuál es ese valor? Está cerca de las $\sqrt{27}$? Puede ser utilizado para hallar los volúmenes de los sólidos platónicos, especialmente el icosaedro y el que se parece a una pirámide volcó y se apilan en su gemelo? 4 parte de la pregunta. Gracias hemos estado discutiendo acerca de ello en el trabajo de semanas
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí, la relación del perímetro de un triángulo equilátero para el diámetro de su circunferencia inscrita es, de hecho, $3\sqrt3$ o $\sqrt{27}$ como lo escribió. Supongo que se le puede llamar "triángulo de pi" si quieres, pero no sé de nadie que se hace, y la gente no pudo tomar muy en serio si lo hizo.
En realidad, me parece muy interesante que el volumen de un octaedro regular de inradius $r$ $\frac43\overset{\scriptsize\triangle}\pi r^3$, al igual que el volumen de una esfera, excepto con $\overset{\scriptsize\triangle}\pi = 3\sqrt3$. Pero no parece ser similares relaciones con el resto de los sólidos Platónicos.
Para abordar uno de sus editado preguntas: "existe una $\pi$ para los triángulos?" De verdad que no. $\pi$ es el nombre de un número cuyo valor es $3.14159\ldots$ siempre Se puede encontrar un número diferente que está relacionado con, digamos, triángulos equiláteros en una manera análoga a cómo $\pi$ está relacionado con los círculos, y darle un nombre de su elección, tales como el "triángulo $\pi$". Pero eso es sólo una analogía. Esto no hace que el número de "otro $\pi$ para los triángulos", más de lo que Stephen Harper es "diferente Barack Obama para Canadá".
En más de reflexión, quien eligió el diámetro de la circunferencia inscrita a tomar la relación de contra, en contraposición a la de la circunferencia circunscrita, el nueve punto de círculo, o cualquier otro círculo asociados con el triángulo, definitivamente sabía lo que estaban haciendo. Si el inradius es $r$ y elige $\overset{\scriptsize\triangle}\pi$, de modo que el perímetro del triángulo es $2\overset{\scriptsize\triangle}\pi r$, entonces es también el caso de que el área del triángulo es $\overset{\scriptsize\triangle}\pi r^2$! Esta realidad tiene arbitrarias de triángulos, no sólo equilátero queridos y no funciona para cualquier otro valor de $r$ diferente de la inradius.
Uno puede empezar a desmitificar este por la observación de que el incentro es el único punto cuya distancia perpendicular desde los tres bordes del triángulo es el mismo, y es igual a la inradius. Por qué importa esto es más fácil de ver cuando se generalizó a $n$caras polígonos:
Si existe un punto cuya distancia perpendicular desde todos los lados de un polígono simple es igual para el mismo valor de $r$, entonces el área del polígono es $\frac12 r$ veces el perímetro del polígono.
Esto ya empieza a parecerse a un hecho evidente: basta con unir todos los vértices del polígono con el punto interior, y sumar las áreas de los triángulos que se forman. Y explica el por encima de la propiedad de la inradius, que existe siempre para cualquier triángulo (aunque por lo general este punto no existe una arbitraria $n$de lados del polígono con $n>3$).
