Módulos y extensiones cero cuadrado

Question

Sea $R$ sea un anillo conmutativo, $RMod$ su categoría de módulos y $CRing$ la categoría de anillos conmutativos.

Hay una incrustación $RMod \rightarrow CRing/R$ que envía un $R$ -módulo $M$ al ring $$R \oplus M$$ (la suma directa tomada como módulos) con multiplicación $(r_0,m_0)(r_1,m_1) = (r_0 r_1, r_0 m_1 + r_1 m_0)$ . Este functor se restringe a una equivalencia de categorías entre $RMod$ y $Ab(CRing/R)$ la categoría de objetos de grupos abelianos en la categoría de trozos.

La proyección $R \oplus M \rightarrow R$ convierte este anillo en una extensión de cero cuadrado de $R$ . Según tengo entendido, en geometría algebraica, se piensa en una extensión cero cuadrada de un anillo como una especie de extensión infinitesimal de $Spec (R)$ . Por tanto, la categoría de $R$ -pueden verse geométricamente como parametrizadores de una cierta clase de objetos infinitesimales relacionados con $R$ .

Por otra parte, por supuesto, la categoría $RMod$ es equivalente a la categoría de láminas cuasicoherentes sobre $Spec(R)$ lo que me parece, al menos a mí, totalmente ajeno a mi descripción anterior.

Así que mi pregunta es: ¿están estas dos visiones de la misma categoría relacionadas de alguna manera? Cuando pienso en la gavilla asociada a un módulo $M$ ¿contiene de algún modo información sobre la extensión infinitesimal correspondiente? ¿Y cuando miro la cohomología con coeficientes en esa gavilla?

Answer 1

Si $X$ es un esquema y $\mathcal M$ es una gavilla cuasi coherente en $X$ entonces podemos formar una gavilla de anillos $\mathcal A := \mathcal O_X \oplus \mathcal M$ en la que la multiplicación de secciones viene dada simplemente por la misma fórmula que para $R \oplus M$ .

La pareja $(X,\mathcal A)$ es entonces un esquema que es un engrosamiento infinitesimal de $X$ y es precisamente así como se pasa de una gavilla cuasi-coherente a la correspondiente engrosamiento; es sólo una versión sheafified de la construcción en su publicación.

(En cuanto a la cohomología, en tu pregunta parecías más interesado en el caso en que $X =$ Espec $R$ es afín, en cuyo caso las gavillas cuasi-coherentes tienen cohomología superior evanescente, así que no estoy seguro de que haya mucho que decir al respecto).

Añadido en respuesta al comentario siguiente: Para ver cómo estos surgen geométricamente, considere por ejemplo un $k$ -esquema $X$ incrustado diagonalmente en $X \times X$ . (Aquí $k$ es un campo, y todo ocurre sobre Spec $k$ .)

Sea $\mathcal I_X$ sea la gavilla ideal en $X \times X$ recortando la diagonal, y considerar el engrosamiento cuadrado-cero $\mathcal O_{X\times X}/\mathcal I_X^2$ de $X$ .

Esto se encuentra en la secuencia exacta corta $$0 \to \Omega^1_X = \mathcal I_X/\mathcal I_X^2 \to \mathcal O_{X\times X}/\mathcal I_X^2 \to \mathcal O_{X\times X}/I_X = \mathcal O_X \to 0.$$ La proyección $p_1:X\times X \to X$ da un desdoblamiento de este corto exacto por lo que encontramos que $\mathcal O_{X\times X}/\mathcal I_X^2 = \mathcal O_X \oplus \Omega^1_X$ .

Recapitulando, vemos que en el caso especial $\mathcal M = \Omega^1_X$ entonces $(X, \mathcal O_X \oplus \Omega^1_X)$ es igual a la vecindad infinitesimal de primer orden de $X$ en $X\times X$ .

Supongamos, por ejemplo, que $X$ es una curva suave, de modo que $\Omega^1_X$ es un haz de líneas. Entonces $(X,\mathcal O_X \oplus \Omega^1_X)$ es localmente como los números duales (como se observa en tu comentario) pero es globalmente retorcido (a menos que $X$ es una curva elíptica, es decir, el género es 1, que es el único caso en que $\Omega^1_X$ es en realidad trivial).

Esto debería darle una idea de cómo surgen geométricamente este tipo de objetos (y por qué considerar otros ejemplos en lugar de sólo los números duales).