Esta pregunta surgió en mi clase de Introducción al Análisis Real. Nos dieron que $\mathbb{R}$ es un campo ordenado completo, y $\mathbb{Z}$ es un subconjunto del conjunto $\mathbb{R}$ .
No sé por dónde empezar. Pensé en empezar por la definición de los números enteros, pero no nos han dado ninguna. He intentado inventar una definición y la mejor que se me ocurre es $\{1, 1+1, 1+1+1, ...\} \cup \{-1, -1 + (-1), -1 + (-1) + (-1),...\}$ pero no sé cómo hacerlo más formal.
Si el supremum $S$ de un conjunto de números enteros $X$ no era a su vez un número entero, hay un número entero por debajo de $S$ escrito como $\lfloor S \rfloor$ y un número entero superior a $S$ escrito $\lceil S \rceil$ . Tenga en cuenta que $\lfloor S \rfloor$ es el elemento máximo de $X$ porque $S$ es un sup. Además, puesto que $S$ no es un número entero, $S - \lfloor S \rfloor > 0$ . Ahora bien, el supremum de un conjunto $X$ tiene la propiedad de que para cada $\epsilon > 0$ , $S - \epsilon$ no es un límite superior para $X$ ya que $S$ es el límite superior mínimo. Pero si tomamos $\epsilon = \frac{S - \lfloor S \rfloor}{2}$ entonces $S - \epsilon$ sigue siendo un límite superior.
Esto demuestra que $S$ tiene que ser realmente un número entero y, en particular, tiene que pertenecer a $X$ . Obsérvese que los números enteros no tienen nada de especial, y que esto es válido para cualquier conjunto discreto de puntos de la recta real.
Supongamos que $s = \sup S$ es un número real. Hay algún número entero $n$ para que $n-1 < s \le n$ .
Sea $d$ para que $n-1 < d < s$ . Por definición de cota mínima superior $d$ no es un límite superior.
Por lo tanto, existe un $t \in S$ para que $ d < t \le s$ . Así que $n-1 < d < t \le s \le n$ . Pero $t$ es un número entero. Y $n-1 < t \le n$ .
La única forma de que eso sea posible es que $t = n$ .
Así que $n = t \le s \le n$ .
La única forma de que eso sea posible es que $n = t = s$ . Así que $s = t \in S$ .
\=====
Nota: todo esto depende de saber i) para cualquier número real $s$ existe un número entero $n$ para que $n < s \le n+1$ .
y ii) para dos números reales cualesquiera $a, b$ para que $a < b$ existe un número real $d$ para que $a < d < b$ .
y iii) que para cualquier número entero $n$ no hay entero entre $n$ y $n+1$ .
1 y 20 son la propiedad de Arquímedes. Son muy básicas, pero en realidad deben demostrarse en un curso de análisis básico. 3) es ... bueno, depende de sus axiomas y definiciones.
\===== toma 2 ====
. Pensé en partir de la definición de números enteros, pero no se nos ha dado ninguna.
Eso es realmente un problema. Creo que el unique aspecto de los números enteros que debe dar por sentado es que si $n$ es un número entero, entonces $n$ es el único número entero dentro del intervalo abierto $(n-1, n+1)$ [ $*$ ].
Esto significa que si $s = \sup S$ entonces para cualquier intervalo $(s - d, s]$ debe contener un elemento de $S$ . Y ese elemento debe ser un entero. Y esto debe ser cierto no importa cuán pequeño $d$ es.
Pero si $d < 1$ entonces este debe ser el sólo entero en el intervalo. Y debe existen en todos tales intervalos independientemente de la opción que elijamos para $d$ .
El único punto en todos $(s -d,s]$ es $s$ sí mismo. Así que $s$ debe ser el elemento entero.
[ $*$ ]. Esto puede tener problemas, pero creo que es una definición recursivamente sólida de entero:
i) $0$ es un número entero.
ii) No hay números enteros en $(0, 1)$ .
iii) $n$ es un número entero si y sólo si $n+1$ es un número entero.
Si $a= \sup S$ entonces $s \leq a$ para todos $s \in S$ . En particular, $S$ está limitada por arriba.
Desde $|n -m| \geq 1$ para dos elementos diferentes cualesquiera $n, \, m \in \mathbb{Z}$ se deduce que existe $\bar{s} \in S$ tal que $s \leq \bar{s}$ para todos $s \in S$ .
Por la definición de supremum tenemos $a \leq \bar{s}$ . Por otra parte, $\bar{s} \in S$ implica $\bar{s} \leq a$ .
Así que deducimos $a = \bar{s}$ y hemos terminado.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
