$|a-b| \geq | |a| - |b| | \Longleftrightarrow |a-b| \geq |a| - |b| $ ?

Question

¿Se cumple siempre lo siguiente?

$|a-b| \geq | |a| - |b| | \Longleftrightarrow |a-b| \geq |a| - |b| $

Ciertamente, la segunda desigualdad implica la primera, pero la inversa no me parece tan clara.

Si se cumple, ¿por qué definimos la "desigualdad del triángulo invertido" como la primera desigualdad de las anteriores?

Answer 1

El si y sólo si se mantiene si se aclara "para todos los $a,b$ ".

La primera desigualdad, para $a,b$ implica la segunda desigualdad. La segunda desigualdad, en cambio, no implica la primera desigualdad si se considera para valores fijos de $a,b$ ; necesita que aguante durante $b,a$ .

En resumen, la primera desigualdad contiene más información.

Answer 2

Por diversión:

$\Rightarrow:$

$|a-b|\ge ||a|-|b|| =$

$\max((|a|-|b|), (|b|-|a|)) \ge $

$|a|-|b|.$

$\Leftarrow:$

1) $|a-b| \ge |a|-|b|;$

Intercambio $a$ y $b$ :

2) $|b-a| = |a-b| \ge |b| -|a|.$

Por lo tanto:

$|a-b| \ge $

$\max((|a|-|b|), (|b| -|a|))=$

$||a|-|b||$ .

Answer 3

Ambas desigualdades son siempre verdaderas, por lo que la bi-condicional es válida.

Explícitamente, $$|a| = |(a-b) + b| \le |a-b| + |b|$$ de ahí $|a-b| \ge |a|-|b|$ .

Por lo tanto, el lado derecho es siempre cierto.

Del mismo modo, $$|b| = |(b-a) + a| \le |b-a| + |a| = |a-b| + |a|$$ de ahí $|a-b| \ge |b|-|a|$ .

Puesto que tenemos $$|a-b| \ge |a|-|b|$$ $$|a-b| \ge |b|-|a|$$ se deduce que $|a-b| \ge ||a|- |b||$ .

Por lo tanto, el LHS es siempre cierto.

Answer 4

El lado derecho es siempre cierto por la desigualdad del triángulo... el lado derecho implica el lado izquierdo... Por lo tanto el LHS es siempre verdad...

Así que son equivalentes...

Answer 5

Creo que la pregunta que probando preguntar es "¿cómo utilizamos la desigualdad del triángulo (que puede reordenarse para $|a-b| \geq |a| - |b|$ ) para demostrar la "desigualdad del triángulo inverso, a saber $|a-b| \geq | |a| - |b| |$ .

He aquí una forma de hacerlo: observe que si intercambiamos los papeles de $a$ y $b$ en la primera desigualdad, encontramos que $$ |b-a| \geq |b| - |a| $$ Sin embargo, sabemos que $|b - a| = |-(a - b)| = |a - b|$ . Por lo tanto, lo anterior implica que $|a - b| \geq |b| - |a|$ . Es decir, sabemos que $$ |a - b| \geq |a| - |b| \quad \text{AND} \quad |a - b| \geq |b| - |a| $$ En pocas palabras, tenemos $$ |a - b| \geq \max\{|a| - |b|, |b| - |a|\} = \max\{|a| - |b|, -(|a| - |b|)\} = ||a| - |b|| $$ que es el resultado deseado.